数学II / 積分の考え

3次曲線と接線で囲む面積

★★★ 応用面積接線

問題

曲線 $y = x^{3}$ の点 $(1, 1)$ における接線が、曲線と再び交わる点を求め、曲線と接線で囲まれた部分の面積を求めよ。

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接線と曲線の交点の方程式は、接点で重解をもつはず — 因数分解はそこから進む。面積の被積分関数は符号が一定になる形なので、絶対値の処理は見た目より楽。

解答・解説

方針

まず接線を求める。曲線と接線の交点方程式は、接点で重解になるので $(x - 1)^{2} (x + 2)$ の形に因数分解できる。囲む面積は「曲線 − 接線」の絶対値を、接点から再交点まで積分する。区間で符号が一定なので絶対値が外せる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず接線を作り、曲線との交点を求める。

曲線と接線の交点方程式は、接点で重解になる。だから $(x - 1)^{2} (x + 2)$ と因数分解でき、再交点 $x = - 2$ が読める。

囲む面積は、曲線から接線を引いた差を接点から再交点まで積分する。

この差は $(x - 1)^{2} (x + 2)$ の形で、区間で符号が一定。だから絶対値はそのまま外れる。「接する $=$ 重解」を面積計算に活かすのが発想の核だ。

重要曲線と接線の交点は接点で重解 →

(x - t)^{2} (\dots)

。この符号が一定なので絶対値が外れる

① 接線を求める。 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ 、 $f^{'} (1) = 3$ 。点 $(1, 1)$ を通り

$y = 3 (x - 1) + 1 = 3 x - 2$

② 再交点を求める。 $x^{3} = 3 x - 2$ より $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ 。接点 $x = 1$ は重解。

$x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 1 (重解), - 2$

再交点は $x = - 2$ 、 $y = (- 2)^{3} = - 8$ で $(- 2, - 8)$ 。

③ 面積を積分する。 $- 2 ≦ x ≦ 1$ で $x^{3} - (3 x - 2) = (x - 1)^{2} (x + 2) ≧ 0$ (この区間で $x + 2 ≧ 0$ )。よって曲線が上、絶対値はそのまま外れる。

$S = \int_{- 2}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1}$

④ 代入して計算する。

$= (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{16}{4} - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (- 6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4}$

y=x^3 と接線 y=3x-2。接点(1,1)・再交点(-2,-8)、囲む面積 27/4

まとめ: $3$ 次曲線と接線の面積は「接点が重解」がカギ。 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ は接点から再交点まで符号一定なので、絶対値を外してそのまま積分できる。

発展 — 一歩先へ。 $y = x^{3}$ は奇関数で、原点(変曲点)に関して点対称。この対称性が接線と面積にも現れる。

接点を反対側の $(- 1, - 1)$ にとると、そこでの接線 $y = 3 x + 2$ は曲線と $x = 2$ で再び交わる。この接線と曲線が囲む部分は、はじめの図形を原点まわりに $18 0^{\circ}$ 回した(点対称に写した)ものだから、面積は等しく $\frac{27}{4}$ 。

一般に、 $3$ 次曲線の接線と曲線が囲む面積や再交点の位置には、変曲点まわりの点対称が効く。接点と再交点は変曲点をはさんで反対側にあり、接点を対称に動かすと図形も対称に動く。 $1$ つの面積が分かれば、対称な相手も同じだと分かる。

答

再交点 $(- 2, - 8)$ 、面積 $\frac{27}{4}$

別解

別解 — 交点を解と係数の関係で出す(得意な人向けの視点)。 再交点を求めるのに、因数分解をせずに済ませる。

接線は $y = 3 x - 2$ 。曲線との交点方程式は $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ 。この式には $x^{2}$ の項がない。 $3$ 次方程式で $x^{2}$ の係数が $0$ なら、 $3$ つの解の和は $0$ になる。

接点 $x = 1$ は接するから重解、つまり解 $1$ を $2$ つ分もつ。残りの解を $q$ とすると、解の和は $1 + 1 + q = 0$ 。よって $q = - 2$ 、再交点は $x = - 2$ 。

面積は本解と同じく $\int_{- 2}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x = \frac{27}{4}$ 。因数分解に頼らず、解と係数の関係だけで再交点が出るのがこのルートの強み。この見方だと、接点を $(p, p^{3})$ にとっても再交点はいつも $x = - 2 p$ だと一目で分かる。

ポイント

接線と曲線の交点方程式は接点で重解。
$(x - t)^{2} (x - s)$ は $t$ 〜 $s$ で符号一定 → 絶対値が外れる。

よくある間違い

接線と曲線の交点で「接する $=$ 重解」を使わず、 $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ を因数分解できずに止まる。
再交点 $x = - 2$ を求めずに、積分区間を接点 $x = 1$ までの片側だけにしてしまう。
$- 2 \leq x \leq 1$ で曲線と接線の上下を取り違え、面積を負の値で出す。