偶関数・奇関数の対称性を使う定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分区間が $[-2,2]$ と原点対称。この形を見たら、被積分関数を偶関数と奇関数に仕分ける。

奇関数($x^5,-3x^3,-x$)は、対称区間で積分すると左右が打ち消し合って $0$。計算する前に消せる。

残るのは偶関数($2x^2,5$)だけ。偶関数は ${\int }_{-2}^2=2{\int }_0^2$ と半分にできる。計算量が一気に減る。

① 偶奇で分ける。 奇関数の項:$x^5,-3x^3,-x$。偶関数の項:$2x^2,5$(定数は偶関数)。対称区間で奇関数の積分は $0$。

② 偶関数だけ積分。 $${\int }_{-2}^2(2x^2+5)dx=2{\int }_0^2(2x^2+5)dx=2{\left[\frac{2x^3}{3}+5x\right]}_0^2=2\left(\frac{16}{3}+10\right)=2\cdot \frac{46}{3}=\frac{92}{3}.$$

まとめ 奇数乗の項は対称区間で $0$、偶数乗と定数だけ残して $2{\int }_0^2(2x^2+5)dx=\frac{92}{3}$。積分(偶奇の対称性)と式の分類の融合。

発展 — 一歩先へ。 原始関数の偶奇は必ず交替する: 偶関数の積分は奇関数、奇関数の積分は偶関数。だから対称区間 $[-c,c]$ の積分は、奇関数なら必ず $0$、偶関数なら $2F(c)$($F$ は奇の原始関数)。この交替則は、フーリエ級数で「偶関数は余弦だけ・奇関数は正弦だけ」に展開される事実の土台でもある。

別解

別解 — 原始関数の偶奇で端点計算を消す(得意な人向けの高い視点)。 奇関数の項を積分すると、原始関数は偶関数になる($x^5\to \frac{x^6}{6}$、$-3x^3\to -\frac{3}{4}{x}^4$、$-x\to -\frac{x^2}{2}$、すべて偶数次)。

偶関数 $F$ は $F(2)=F(-2)$ だから、$[F{]}_{-2}^2=F(2)-F(-2)=0$。奇関数の項は、原始関数の段階で端点差が消える — これが「奇関数の対称区間積分は $0$」の仕組みだ。

残る偶関数の項 $2x^2+5$ は、原始関数 $\frac{2}{3}{x}^3+5x$ が奇関数。$[{]}_{-2}^2=2\times (\text{上端の値})$ で

$$2\left(\frac{2}{3}\cdot 8+5\cdot 2\right)=2\left(\frac{16}{3}+10\right)=\frac{92}{3}.$$

「奇関数は積分すると偶関数、偶関数は積分すると奇関数」という原始関数の偶奇の交替を知っていると、対称区間の積分は端点を1つ計算するだけで済む。