2曲線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 曲線で囲まれた面積は、「上 $-$ 下」を積分する。

$$S={\int }_a^b\{(\text{上の関数})-(\text{下の関数})\}dx$$

$2$ 段階で準備する。

手順1: 交点を求める(積分区間が決まる)。

$$x^2=x⟹x^2-x=0⟹x(x-1)=0⟹x=0,1$$

積分区間は $0\leqq x\leqq 1$。

手順2: どちらが上かを確認する。

$x=0.5$ で比べる。

$$y=x=0.5,y=x^2=0.25$$

直線 $y=x$ のほうが上!

$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

「上 $-$ 下」の順序を間違えると、符号が逆になる。 必ず確認する。

① 交点を求める。 $x^2=x$ より $x^2-x=0$、$x(x-1)=0$、$x=0,1$。積分区間は $[0,1]$。

② 上下を決める。 $0<x<1$ では $x>x^2$(例:$x=\frac{1}{2}$ で $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$)。直線 $y=x$ が上、放物線 $y=x^2$ が下。

③ 「上 − 下」を積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^1(x-x^2)dx=[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

まとめ:$2$ 曲線の面積は「交点で区間を決める → どちらが上か確かめる → 上 − 下 を積分」。上下を逆にすると符号が変わるので、代表点で必ず確認する。

発展 — 一歩先へ。 「上 $-$ 下」を積分する、という考え方は、$x$ 軸の位置に依存しないという点で優れている。

なぜか。 $2$ 曲線の"差"だけを見ているので、グラフ全体を上下に平行移動しても、面積は変わらない。

$${\int }_a^b\{(f(x)+k)-(g(x)+k)\}dx={\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx$$

$k$ が消える ✓ 当然だ — $2$ つの曲線を同じだけ上げても、間の面積は変わらない。

この性質のおかげで、「曲線が $x$ 軸の下にあるかどうか」を気にしなくてよい。

例: $y=x^2-10$ と $y=x-10$(どちらも $x$ 軸の下)で囲まれた面積は?

そのまま「上 $-$ 下」を積分すればよい。

$$(x-10)-(x^2-10)=x-x^2$$

$-10$ が消えた — この問題の面積は、元の問題($y=x^2$ と $y=x$)と同じ $\frac{1}{6}$ である。

$x$ 軸の下にあっても、面積の計算は変わらない。

これに対し、「$x$ 軸との面積」を求めるときは、$x$ 軸の上下を必ず確認する必要があった。

$$\boxed{\text{2 曲線間の面積 → 上下だけ気にすればよい(位置は無関係)}}$$ $$\boxed{\text{x 軸との面積 → x 軸の上か下かを、必ず確認}}$$

「$x$ 軸との面積」も、実は「$2$ 曲線間の面積」の特別な場合だ。

$$(\text{x 軸})=(\text{直線 }y=0)$$

だから「上 $-$ 下」の考え方に統一できる。

曲線が $x$ 軸の下にあるなら

$$S={\int }_a^b\{0-f(x)\}dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

「$x$ 軸(上)$-$ 曲線(下)」 — この形で書けば、符号で悩まない。

すべての面積問題を、「上 $-$ 下」に統一する。 そうすれば、場合分けが減り、事故が減る。

そして、この考え方は $3$ 次元へ拡張される。

体積を求めるときは、「断面積」を積分する。

$$V={\int }_a^{b}S(x)dx$$

「面積を積分すると、体積になる」 — 次元が $1$ つ上がるだけで、構造はまったく同じだ。

「積分とは、$1$ つ低い次元の量を足し合わせて、$1$ つ高い次元の量を作ること」 — この視点が、数IIIの回転体や、大学の重積分へつながっていく。

別解

この答え $\frac{1}{6}$ には、有名な公式がある。「$\frac{1}{6}$ 公式」だ。 知っていれば、$5$ 秒で答えが出る。

$\frac{1}{6}$ 公式。

$$\boxed{{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}$$

または、放物線と直線で囲まれた面積として

$$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

($a$ は $2$ 次の係数、$\alpha$、$\beta$ は $2$ 交点の $x$ 座標。)

この問題に当てはめる。

「上 $-$ 下」の差の関数を作る。

$$x-x^2=-x^2+x=-x(x-1)=-1\cdot (x-0)(x-1)$$

$2$ 次の係数は $a=-1$、交点は $\alpha =0$、$\beta =1$。

$$S=\frac{|-1|}{6}(1-0{)}^3=\frac{1}{6}✓$$

積分を $1$ 度もせずに、答えが出た。

この公式の何がすごいか。

交点の $x$ 座標さえ分かれば、面積が"引き算と $3$ 乗"だけで出る。

例: $y=x^2-3x+1$ と $y=x-2$ で囲まれた面積は?

交点を求める。

$$x^2-3x+1=x-2⟹x^2-4x+3=0⟹(x-1)(x-3)=0$$

$$\alpha =1,\beta =3$$

$\frac{1}{6}$ 公式を使う。($2$ 次の係数は $1$。)

$$S=\frac{1}{6}(3-1{)}^3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

積分計算なしで、面積が出た! 素直に積分すると、$3$ 次式の展開と代入で $5$ 分はかかる。

なぜこの公式が成り立つのか。

差の関数は、必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$ の形になる(交点で $0$ になる $2$ 次式だから)。

これを積分すると、常に $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ という形に収まる — 計算してみれば確かめられる。

「交点の間隔の $3$ 乗を、$6$ で割る」 — 覚えやすい形だ。

そして、この公式は入試で頻出する。

放物線と直線、放物線と放物線 — $2$ 次曲線どうしで囲まれた面積は、すべてこの公式で瞬殺できる。

ただし、条件を確認すること。

• $2$ 次関数と $1$ 次関数(または $2$ 次関数どうし)であること
• 交点が $2$ つあること
• その $2$ 交点のあいだの面積であること

この $3$ 条件が揃えば、$\frac{1}{6}$ 公式が使える。

「公式を知っていること」は、時間との戦いで決定的な差になる。 しかし、なぜ成り立つのかを理解していないと、条件を外れた問題で誤用する。

公式は理解の上に乗せる — それが正しい使い方だ。