絶対値を含む定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値は、中身の符号が分からないと外せない。$x-1$ は $x=1$ を境に符号が変わる。

だから区間 $[0,2]$ を $x=1$ で $2$ つに割る。前半は中身が負なので $-(x-1)$、後半は正なのでそのまま $x-1$。

「絶対値の積分 $=$ 符号の変わる点で区間を分割」。分割してしまえば、あとはふつうの積分が $2$ 回あるだけだ。

① 符号で場合分けする。 $x-1$ は $x=1$ で符号が変わる。

$$|x-1|=\{\begin{array}{ll}1-x& (0\leqq x<1)\\ x-1& (1\leqq x\leqq 2)\end{array}$$

② 区間を分けて積分する。

$${\int }_0^1(1-x)dx=[x-\frac{x^2}{2}{]}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$${\int }_1^2(x-1)dx=[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^2=(2-2)-(\frac{1}{2}-1)=\frac{1}{2}$$

③ 足す。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

まとめ:絶対値つき積分は「符号の変わり目で区間を分ける」。各区間で絶対値を外し、符号をそろえてから積分する。グラフでは面積の足し算になっている。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^2(x-1)dx=0$(絶対値なし)と ${\int }_0^2|x-1|dx=1$ を並べると、両者の違いが際立つ。前者は符号付きで打ち消し合い、後者は反転して足すから打ち消しが起きない。絶対値は「打ち消しを禁止する」記号だと読める。

中身が $2$ 次(たとえば $|x^2-1|$)になっても、方針は一字一句同じ — 符号の変わる点で割る。変わるのは分割点の見つけ方(因数分解)だけだ。標準問題の後半でその形を扱う。

別解

この積分は、絵を描けば計算なしで終わる。

$y=|x-1|$ のグラフは、$(1,0)$ を谷にした V 字。区間 $[0,2]$ では、左右に直角三角形が $2$ つできる。

• 左: 底辺 $1$(区間 $[0,1]$)、高さ $1$($x=0$ で $|0-1|=1$)
• 右: 底辺 $1$(区間 $[1,2]$)、高さ $1$($x=2$ で $|2-1|=1$)

$${\int }_0^2|x-1|dx=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=1$$

グラフが $x$ 軸より上にあるから、定積分はそのまま面積。折れ線の積分は三角形・台形の面積で読むのが最速で、場合分けの計算の検算にもなる。