定積分の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 見た目は積分の問題だが、$a$ は積分の中ではただの定数。まず積分を実行してしまえば、$x$ は消えて $a$ だけの式が残る。

$${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx=a^2-a+\frac{1}{3}$$

つまりこれは「$a$ の $2$ 次関数の最小値」という、よく知っている問題への変装だ。

平方完成すれば頂点が読める。「積分を実行して、変数を $1$ つに減らす」— 積分と最大最小の融合問題の定跡である。

① $a$ を定数とみて積分する。 $(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$。

$${\int }_0^1(x^2-2ax+a^2)dx=[\frac{x^3}{3}-a{x}^2+a^{2}x{]}_0^1=\frac{1}{3}-a+a^2$$

② $a$ の $2$ 次式を平方完成する。

$$a^2-a+\frac{1}{3}=(a-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{12}$$

③ 最小を読む。 $a=\frac{1}{2}$ のとき最小、最小値は $\frac{1}{12}$。

$$a=\frac{1}{2},\text{最小値 }\frac{1}{12}$$

まとめ:積分の中に文字 $a$ があっても、$a$ を定数とみて積分すればよい。結果は $a$ の $2$ 次関数になるので、あとは平方完成で最小を求めるいつもの流れだ。

発展 — 一歩先へ。 「距離 ${}^2$ の合計を最小にする点を探す」考え方は最小二乗法と呼ばれ、データに直線を当てはめる回帰分析・測定誤差の処理・機械学習の学習則まで、現代の応用数学の背骨になっている。今回の $1$ 変数版はその最小単位だ。

$2$ 乗でなく絶対値 ${\int }_0^1|x-a|dx$ を最小にすると、答えはやはり $a=\frac{1}{2}$ だが、こちらは「中央値」の連続版。$2$ 乗は平均、絶対値は中央値 — ペナルティの測り方が、最適な代表点の意味を決める。

別解

答え $a=\frac{1}{2}$ が「区間 $[0,1]$ のまん中」なのは偶然ではない。

$(x-a{)}^2$ は「点 $x$ と点 $a$ の距離の $2$ 乗」。積分は区間全体でその距離 ${}^2$ をかき集めたものだから、この問題は

「区間 $[0,1]$ のすべての点から、$2$ 乗の意味でいちばん近い場所 $a$ はどこか」

と読める。答えは区間の重心(平均)$a=\frac{1}{2}$ — 端に寄れば反対側の端との距離 ${}^2$ が大きく膨らむから、まん中で釣り合う。

これはデータの分析で学ぶ「偏差の $2$ 乗和は平均のところで最小」とまったく同じ構造だ。あちらはとびとびのデータ、こちらは連続な区間という違いだけで、$2$ 乗のペナルティは平均が最小にする、という法則は共通している。

最小値 $\frac{1}{12}$ にも名前がある。区間 $[0,1]$ 上の一様な分布の分散が $\frac{1}{12}$ — 統計の教科書に出てくる定数と、いま平方完成で出した値は同じものだ。