放物線と2本の接線で囲む面積(12分の1公式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積を求める前に、2本の接線と放物線の位置関係を式にする。接線 $y=2ax-a^2$ と放物線の差を作ると、$x^2-2ax+a^2=(x-a{)}^2$ — 完全平方になる。

これは接線が接点 $x=a$ で放物線に接する(重解)ことの現れだ。もう1本も $(x-b{)}^2$。

2接線の交点は $x=\frac{a+b}{2}$。ここで区間を2つに割り、それぞれで「放物線 $-$ 接線 $=$ 完全平方」を積分すればよい。平方の積分だから計算はやさしい。

① 接線と交点。 接線は $y=2ax-a^2,y=2bx-b^2$。$2ax-a^2=2bx-b^2\Rightarrow 2x(a-b)=a^2-b^2\Rightarrow x=\frac{a+b}{2}=:c$。

② 面積。 $[a,c]$ では放物線と第 $1$ 接線の差 $(x-a{)}^2$、$[c,b]$ では $(x-b{)}^2$。 $$S={\int }_a^c(x-a{)}^{2}dx+{\int }_c^b(x-b{)}^{2}dx={\left[\frac{(x-a{)}^3}{3}\right]}_a^c+{\left[\frac{(x-b{)}^3}{3}\right]}_c^b.$$ $c-a=\frac{b-a}{2}$、$c-b=-\frac{b-a}{2}$ より $$S=\frac{1}{3}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3+\frac{1}{3}\left\{0-{\left(-\frac{b-a}{2}\right)}^3\right\}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(b-a{)}^3}{8}=\frac{(b-a{)}^3}{12}.$$

まとめ 放物線と接線の差 $(x-a{)}^2,(x-b{)}^2$ を交点 $\frac{a+b}{2}$ で分けて積分し、面積 $\frac{(b-a{)}^3}{12}$。面積(積分)と接線(微分)の融合。

発展 — 一歩先へ。 放物線がらみの面積は、みな「三角形の $\frac{4}{3}$ 倍」というアルキメデスの定理に還元できる。弦で囲む弓形は内接三角形の $\frac{4}{3}$ 倍、2接線で囲む部分はその半分。積分が生まれる約2000年前に、アルキメデスは取り尽くし法でこれらを求めていた。

別解

別解 — アルキメデスの「放物線と弦」で読む(得意な人向けの高い視点)。 2つの接点を結ぶ弦を引くと、大きな三角形ができる。頂点は $(a,a^2)$、$(b,b^2)$、そして2接線の交点 $\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$。この三角形の面積は $T=\frac{(b-a{)}^3}{4}$。

放物線の弧はこの三角形を2つに割る。弦と放物線で囲む部分(アルキメデスの定理で $\frac{(b-a{)}^3}{6}$)と、求める「2接線と放物線」の部分だ。

$$(\text{求める面積})=T-(\text{弦と放物線})=\frac{(b-a{)}^3}{4}-\frac{(b-a{)}^3}{6}=\frac{(b-a{)}^3}{12}.$$

比で言えば、放物線は三角形 $T$ を弦側 $2$:接線側 $1$ に分ける。積分を1本も計算せず、面積の引き算だけで $\frac{(b-a{)}^3}{12}$ に着いた。放物線の面積公式たち($\frac{1}{6},\frac{1}{12}$)が、1つの三角形の $2:1$ 分割で結ばれている。