対称性を使う定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(1-x{)}^5$ を展開すると6項の多項式になり、計算が重い。展開したくない。

区間 $[0,1]$ には、置換 $u=1-x$ と抜群に相性がよいという特徴がある。区間 $[0,1]$ がそのまま区間 $[0,1]$ に移り、$x$ と $1-x$ が役割を交換するだけだからだ。

置換すると被積分関数は $(1-u)u^5=u^5-u^6$。6項が2項になり、暗算でも積分できる形に変わる。

① 置換する。 $u=1-x$ とおくと $x=1-u$、$dx=-du$。$x:0\to 1$ のとき $u:1\to 0$。

$${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{5}dx={\int }_1^0(1-u)u^5(-du)={\int }_0^1(1-u)u^{5}du={\int }_0^1(u^5-u^6)du$$

② 積分する。

$${\int }_0^1(u^5-u^6)du=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{7-6}{42}=\frac{1}{42}$$

まとめ:置換 $u=1-x$ で $(1-x{)}^5$ を主役の $u^5$ に変え、被積分関数を $u^5-u^6$ に簡単化するのが急所(展開を回避)。$[0,1]$ 上の $x\leftrightarrow 1-x$ の対称性の活用。

発展 — 一歩先へ。 一般に ${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{n}dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$($n=5$ で $\frac{1}{42}$)。さらに ${\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$ という美しい一般式が知られている($m=1,n=5$ で $\frac{120}{5040}=\frac{1}{42}$)。$x\leftrightarrow 1-x$ の対称性は、この式が $m$ と $n$ の交換で不変であることにも表れている。

別解

展開して積分する(力技もきちんと通る)。 置換を思いつかなくても、二項定理で展開すれば必ず終わる。

$$x(1-x{)}^5=x\left(1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5\right)=x-5x^2+10x^3-10x^4+5x^5-x^6$$

項別に積分して

$$\frac{1}{2}-\frac{5}{3}+\frac{10}{4}-\frac{10}{5}+\frac{5}{6}-\frac{1}{7}$$

分母 $42$ に通分すると、分子は $21-70+105-84+35-6=1$。よって値は $\frac{1}{42}$。

置換(本解)の3行に対して、展開は6項の管理が要る。だが「答えが合っているかの独立の検算」としては最強で、置換の符号ミスを一発で見抜ける。2つのルートで同じ $\frac{1}{42}$ に着いたら、答えはまず動かない。