3次関数と直線が囲む2部分の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの面積をそれぞれ積分して比べるのが素朴な道。だが計算の前に、図形の対称性を疑ってみる。

曲線と直線の差 $g(x)=(x^3-3x)-x=x^3-4x$ を作ると、これは奇関数($g(-x)=-g(x)$)。つまり囲まれた2つの部分は、原点(=3次関数の変曲点)についてぴったり点対称だ。

点対称な図形どうしの面積は等しい。積分を1本も計算せずに、結論が出てしまう。

① 交点を求める。 $x^3-3x=x⟺x^3-4x=0⟺x(x^2-4)=0$、$x=0,\pm 2$。$3$ 交点で囲む $2$ 部分は区間 $[-2,0]$ と $[0,2]$ に対応する。

② 差の対称性。 $g(x)=(x^3-3x)-x=x^3-4x$。$g(-x)=-x^3+4x=-g(x)$ だから $g$ は奇関数。$[-2,0]$ での面積 ${\int }_{-2}^0|g|dx$ と $[0,2]$ での面積 ${\int }_0^2|g|dx$ は、$x\mapsto -x$ の置換で一致する。

③ 結論。 よって $2$ つの部分の面積は等しい。(実際 $g=x^3-4x$ は $[-2,0]$ で $\ge 0$、$[0,2]$ で $\le 0$ で、どちらの面積も ${\int }_0^2(4x-x^3)dx=8-4=4$。)

まとめ:差 $g=x^3-4x$ が奇関数(原点=変曲点対称)であることに気づけば、$2$ 部分は点対称で面積が等しいと即座に言える。個別に積分しても各 $4$ で確認できる。$3$ 次関数の点対称性が急所。

発展 — 一歩先へ。 符号つき積分 ${\int }_{-2}^{2}gdx=0$(奇関数)だけでは、面積の相等は言えない。正負が相殺しただけかもしれないからだ。本問で結論できるのは、$g=x^3-4x$ が $[-2,0]$ で常に $\ge 0$、$[0,2]$ で常に $\le 0$ と各区間で符号一定だから。「積分が $0$」+「各部分で符号一定」の2点セットで初めて、面積の相等になる。論証の穴になりやすい急所だ。

別解

一般の3次で同じことを示す(この問題は氷山の一角)。 実は直線 $y=x$ である必要はない。変曲点を通る直線なら何でも、3次曲線と囲む2部分の面積は等しい。

3次関数 $f(x)$ の変曲点の $x$ 座標を $x_0$ とし、平行移動 $X=x-x_0$ で変曲点を原点に移す。すると3次式は $X^3+pX+r$ の形になる(2次の項が消える)。変曲点 $(0,r)$ を通る直線は $y=qX+r$ と書けて、差は

$$(X^3+pX+r)-(qX+r)=X^3+(p-q)X$$

これは奇関数。よって2つの囲み部分は原点対称で、面積は等しい。

本問は $f=x^3-3x$(変曲点が原点)、直線 $y=x$(原点を通る)という特別な場合だった。逆に、変曲点を通らない直線では2部分の面積は一般に等しくならない。「なぜ $y=x$ でうまくいったのか」の答えは、「変曲点を通っていたから」だ。