定積分の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定積分は、$2$ 段階で計算する。

手順1: 不定積分(原始関数)を求める。

$$\int 3x^{2}dx=x^3$$

($C$ は、この後で消えるので書かなくてよい。)

手順2: 上端と下端を代入して、引く。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=2^3-0^3=8$$

$\left[\right]$ は「代入して引く」という記号。

$$[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$

必ず「上端 $-$ 下端」の順。 逆にすると符号が反対になる。

なぜ積分定数 $C$ が要らないのか。

$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

$C$ が引き算で消える ✓ — だから定積分では書かなくてよい。

① 原始関数を求める。 $\int 3x^{2}dx=x^3$。

② 上端・下端を代入して引く。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=2^3-0^3=8$$

まとめ:定積分は「原始関数に上端を入れた値 $-$ 下端を入れた値」。$C$ は引き算で消えるので書かなくてよい。

発展 — 一歩先へ。 「無限に細い長方形を、無限個足す」— この操作が、なぜ有限の値になるのか。

素朴に考えると、危うい。

$$(\text{無限に小さい})\times (\text{無限個})=?$$

$0\times \infty$ という、不定形だ。 何にでもなりうる。

しかし、掛け算の"バランス"が取れていれば、有限の値に収束する。

• 長方形の幅: $\frac{2}{n}$($n\to \infty$ で $0$ へ)
• 長方形の個数: $n$($\infty$ へ)
• 幅 $\times$ 個数: $\frac{2}{n}\times n=2$(一定!)

「$0$ に近づく速さ」と「$\infty$ に発散する速さ」が、ちょうど釣り合っている。 だから積は有限に収まる。

この"釣り合い"の感覚が、極限を扱ううえで決定的に重要だ。

微分でも、同じ構造があった。

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\left(\frac{0}{0}\text{の形}\right)$$

分子も分母も $0$ に近づくが、"同じ速さ"で近づくので、比は有限。

微分は $\frac{0}{0}$、積分は $0\times \infty$ — どちらも不定形を、極限で"飼いならした"技術なのだ。

そして、両者が逆演算であることは、決して自明ではない。

$$\underset{\text{局所的}}{\underbrace{\text{接線の傾き}}}\text{と}\underset{\text{大域的}}{\underbrace{\text{面積}}}$$

「傾き」と「面積」— 一見、何の関係もない $2$ つの概念。

それが、微積分学の基本定理によって結ばれる。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

「面積を、上端で微分すると、もとの関数に戻る」(問題 $11$ で扱う)。

局所と大域が、$1$ 本の式で握手する — これこそが、微積分の奇跡である。

「なぜ面積を求めるのに、微分の逆をすればよいのか」 — この問いに立ち止まった人は、数学の最も深い驚きに触れている。

別解

定積分の値 $8$ は、何を意味するのか。 それは面積である。そして、その面積を「長方形で近似して」求める方法を体験しよう。積分の原点が、そこにある。

面積として読む。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=(\text{曲線 }y=3x^2\text{ と }x\text{ 軸、x=0、x=2 で囲まれた面積})$$

この面積が $8$ である。

では、公式を使わずに、面積を"測って"みよう。

方法: 長方形で埋める(区分求積法)。

区間 $[0,2]$ を、$4$ 等分する(幅 $0.5$ の区間が $4$ つ)。

各区間の"右端"の高さを使って、長方形を作る。

$11.25$。 真の値 $8$ より、かなり大きい。

なぜか。 曲線は右上がりなので、右端の高さを使うと、長方形が曲線からはみ出す(過大評価)。

では、$8$ 等分してみよう(幅 $0.25$)。

同じ計算をすると、合計は約 $9.56$。 — 真の値 $8$ に近づいた!

$100$ 等分すると? — 約 $8.12$。

$10000$ 等分すると? — 約 $8.0012$。

$$\boxed{\text{分割を細かくすると、長方形の和は真の面積 8 に収束する}}$$

これが「区分求積法」であり、積分の定義そのものである。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\cdot \Delta x$$

「無限に細い長方形を、無限個足し合わせる」 — それが積分だ。

記号 $\int$ は、Sum(和)の $\mathrm{S}$ を引き伸ばしたもの。 $dx$ は「無限に小さい幅」を表す。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=\text{「3x2 という高さに、dx という幅を掛けて、0 から 2 まで足す」}$$

この定義は、アルキメデスの時代(紀元前 $3$ 世紀)から知られていた。 彼は「取り尽くし法」で、放物線の面積を求めていた。

しかし、それは"職人芸"だった。 図形ごとに、特別な工夫が必要だった。

ニュートンとライプニッツの革命は、「積分は微分の逆である」という発見だった。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(F^{\prime }=f)$$

微積分学の基本定理。

無限個の長方形を足す作業が、"原始関数を求めて、$2$ 点で代入して引く"だけになった。

$2000$ 年かかった面積計算が、$3$ 行で終わるようになった — これが人類史上最大級の発明である。

${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=8$ という $1$ 行。 その裏に、無限個の長方形と、$2000$ 年の歴史がある。