x 軸の下にある部分の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まずグラフを描く。 これを飛ばしてはいけない。

$$y=x^2-4=(x+2)(x-2)$$

$x$ 軸との交点は $x=\pm 2$。

そして、$-2<x<2$ の範囲では、$y<0$ — グラフは $x$ 軸の下にある($y$ 切片が $-4$ だ)。

ここが急所だ。

素直に積分すると、負の値が出る。

$${\int }_{-2}^2(x^2-4)dx={\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]}_{-2}^2=\left(\frac{8}{3}-8\right)-\left(-\frac{8}{3}+8\right)=-\frac{32}{3}$$

負! 面積が負になるはずがない。

面積を求めるには、「上 $-$ 下」の順で引く。

$$S={\int }_{-2}^2\{0-(x^2-4)\}dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\frac{32}{3}$$

($x$ 軸 $y=0$ が"上"、曲線が"下"。)

グラフを描かずに積分すると、符号を間違える。

① 交点で区間を決める。 $x^2-4=0$ より $x=\pm 2$。区間は $[-2,2]$。

② 上下を確かめる。 この区間で $x^2-4<0$(曲線は $x$ 軸の下)。面積は「上($x$ 軸)− 下(曲線)」。

$$\text{面積}={\int }_{-2}^2\{0-(x^2-4)\}dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$$

③ 偶関数なので $2$ 倍で計算する。

$$=2{\int }_0^2(4-x^2)dx=2[4x-\frac{x^3}{3}{]}_0^2=2(8-\frac{8}{3})=2\times \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

まとめ:曲線が $x$ 軸の下にあるときは、そのまま積分すると負の値になる。面積は正なので「$-f$ を積分」または「$|$定積分$|$」で正にする。上下の確認が命だ。

発展 — 一歩先へ。 「$x$ 軸の上と下がある場合」の面積計算は、さらに注意が必要だ。

例: $y=x^3-x$ と $x$ 軸で囲まれた面積は?

$$y=x(x-1)(x+1)⟹x=-1,0,1\text{で x 軸と交わる}$$

グラフを描くと

• 区間 $-1<x<0$ では $y>0$ で、$x$ 軸の上
• 区間 $0<x<1$ では $y<0$ で、$x$ 軸の下

上と下が、両方ある!

素直に $[-1,1]$ で積分すると

$${\int }_{-1}^1(x^3-x)dx=0(\text{奇関数だから!})$$

$0$ になってしまう。 上の面積と下の面積が、打ち消し合ったのだ。

しかし、面積は $0$ ではない。

正しくは、区間を分けて、それぞれ絶対値をとる。

$$S={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1\{-(x^3-x)\}dx$$

計算すると

$$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

面積は $\frac{1}{2}$。

$x$ 軸と交わるたびに、区間を分ける — これが鉄則だ。

手順をまとめよう。

1. グラフを描く(または、$x$ 軸との交点を全部求める)
2. 交点で区間を分ける
3. 各区間で、$x$ 軸の上か下かを判定する
4. 上なら $\int f$、下なら $\int (-f)$
5. すべて足す

この $5$ 段階を踏めば、どんな面積問題も解ける。

そして、絶対値を使って $1$ 行で書くこともできる。

$$S={\int }_{-1}^1|x^3-x|dx$$

絶対値がついた積分 — これが「面積」の正確な表現だ。

しかし、絶対値のままでは計算できない。 結局、符号で場合分けして、区間を分ける必要がある。

「絶対値を外す $=$ 場合分けする」 — 数Iで学んだこの原則が、積分でも生きている。

面積の問題で、いきなり積分に飛びつかないこと。 グラフを描き、交点を求め、上下を確認する — この $3$ 手順が、正解への唯一の道である。

別解

この面積は、$3$ 通りの方法で求められる。 どれも同じ $\frac{32}{3}$ になることを確かめ、最速の道を見つけよう。

方法1: 偶関数の対称性を使う。

$$4-x^2\text{は偶関数}$$

半分を計算して、$2$ 倍する。

$$S=2{\int }_0^2(4-x^2)dx=2{\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=2\left(8-\frac{8}{3}\right)=2\times \frac{16}{3}=\frac{32}{3}✓$$

負の数の代入が消えるので、符号ミスが起きない。

方法2: $\frac{1}{6}$ 公式を使う(最速!)

曲線 $y=x^2-4$ と $x$ 軸($y=0$)で囲まれた面積。

差の関数は

$$0-(x^2-4)=-x^2+4=-(x-2)(x+2)$$

$2$ 次の係数 $a=-1$、交点 $\alpha =-2$、$\beta =2$。

$$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3=\frac{1}{6}(2-(-2){)}^3=\frac{1}{6}\times 4^3=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}✓$$

積分せずに、$10$ 秒で答えが出た!

方法3: 素直に積分して、符号を反転する。

$${\int }_{-2}^2(x^2-4)dx=-\frac{32}{3}⟹S=\left|-\frac{32}{3}\right|=\frac{32}{3}✓$$

$3$ つとも同じ答え ✓ 理論に矛盾はない。

速さを比べる。

$\frac{1}{6}$ 公式が圧倒的に速い。 使える場面では、必ず使いたい。

しかし、公式の適用条件を確認すること。

• $2$ 次関数と直線($x$ 軸も直線!)で囲まれている ✓
• $2$ 交点のあいだの面積 ✓

この条件が揃っているので、使える。

さて、"面積"と"定積分"の違いを、最後にもう $1$ 度確認しよう。

$${\int }_{-2}^2(x^2-4)dx=-\frac{32}{3}(\text{定積分の値})$$

$$S=\frac{32}{3}(\text{面積})$$

符号が違う。

問題文が「面積を求めよ」なら、答えは正の $\frac{32}{3}$。

問題文が「定積分の値を求めよ」なら、答えは負の $-\frac{32}{3}$。

「何を聞かれているか」を、必ず読み取る。

この区別を曖昧にすると、正しく計算しても不正解になる。 数学の答案では、問いに正確に答えることが、計算力と同じくらい大切なのである。