2つの放物線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの放物線で囲む面積。まず交点を求める。

次に上の曲線から下の曲線を引き、その $2$ 次式を積分する。

放物線と直線のときと同じで、差が $2$ 次式なら $\frac{1}{6}$ 公式が効く。

ここでは両方の曲線が放物線だが、やることは同じ。引き算した $2$ 次式の係数 $|a|$ を、公式に忘れず入れるのがポイントだ。

① 交点を求める。 $x^2-2x=-x^2+4$ より

$$2x^2-2x-4=0\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow (x+1)(x-2)=0$$

よって $x=-1,2$。

② 上下と差を出す。 $-1<x<2$ で $-x^2+4>x^2-2x$(上は $y=-x^2+4$)。差は

$$(-x^2+4)-(x^2-2x)=-2x^2+2x+4$$

$x^2$ の係数は $-2$ なので $|a|=2$。

③ $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $\beta -\alpha =2-(-1)=3$。

$$\text{面積}=\frac{2\times 3^3}{6}=\frac{54}{6}=9$$

まとめ:$2$ 放物線の面積も、引き算した $2$ 次式の係数 $|a|$ と交点の差 $\beta -\alpha$ で $\frac{1}{6}$ 公式。$|a|=2$ なので、放物線 $1$ 本 × 直線のときの $2$ 倍のスケールになる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの放物線で囲む面積は、じつは「$1$ つの放物線と $x$ 軸で囲む面積」に姿を変えられる。上の曲線から下の曲線を引いた $g(x)=-2x^2+2x+4$ を、新しい放物線と見ればよい。

$g(x)=0$ の解 $x=-1,2$ がそのまま $x$ 軸との交点で、$g$ と $x$ 軸で囲む面積が求める面積に等しい。だから「$2$ 放物線」の問題は、係数を引き算して「$1$ 放物線 対 $x$ 軸」に帰着する。

引き算後の $2$ 次の係数は、もとの $2$ 本の $2$ 次係数の差 $1-(-1)=2$。もし $2$ 本の $2$ 次係数が等しいと、差は $1$ 次以下になり、囲む形は放物線でなくなる。$2$ 次係数の差が、帰着した放物線の開き具合を決めている。

別解

別解 — アルキメデスの放物線の面積公式(得意な人向けの視点)。 放物線が弦で切り取る部分の面積には、$\frac{1}{6}$ 公式とは別の顔がある。「放物線の切片の面積 $=\frac{2}{3}\times$(底)$\times$(高さ)」というアルキメデスの結果だ。

$2$ 曲線の差 $g(x)=(-x^2+4)-(x^2-2x)=-2x^2+2x+4$ は、上に凸の放物線。平方完成すると $g(x)=-2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}$。

底(交点の間隔)は $2-(-1)=3$、高さ(隙間の最大値、$x=\frac{1}{2}$ での $g$)は $\frac{9}{2}$。公式にあてはめて

$$\text{面積}=\frac{2}{3}\times 3\times \frac{9}{2}=9.$$

$\frac{1}{6}$ 公式を使う本解と同じ $9$。じつは「$\frac{2}{3}\times$底$\times$高さ」と「$\frac{1}{6}|a|(\beta -\alpha {)}^3$」は、高さ $=|a|{\left(\frac{\beta -\alpha }{2}\right)}^2$ を通して同じ式を別の量で書いたものだ。