定積分を含む関数(連立)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分の中に $x$ が混ざっていて怖く見える。だが $x$ は、積分変数 $t$ から見ればただの定数だ。外に出せる。

${\int }_0^1(x+t)f(t)dt=x{\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_0^{1}tf(t)dt$。そして定積分はただの数。$A={\int }_0^{1}f,B={\int }_0^{1}tf$ と名前を付ければ、与式は $f(x)=(1+A)x+B$ となり、$f$ が1次式だと判明する。

あとは、この $f$ を $A,B$ の定義に戻して代入すれば、$A,B$ の連立方程式になる。

① 定数でおく。 $A={\int }_0^{1}f(t)dt,B={\int }_0^{1}tf(t)dt$ とおくと

$$f(x)=x+xA+B=(1+A)x+B$$

$f$ は $1$ 次式。

② $A,B$ の連立を作る。 $f(t)=(1+A)t+B$ を代入する。

$$A={\int }_0^1\{(1+A)t+B\}dt=\frac{1+A}{2}+B$$ $$B={\int }_0^{1}t\{(1+A)t+B\}dt=\frac{1+A}{3}+\frac{B}{2}$$

③ 解く。 上の式より $\frac{A}{2}=\frac{1}{2}+B$、$A=1+2B$。下の式より $\frac{B}{2}=\frac{1+A}{3}$、$3B=2(1+A)=2(2+2B)=4+4B$、$-B=4$、$B=-4$。よって $A=1-8=-7$。

$$f(x)=(1-7)x-4=-6x-4$$

まとめ:定積分は定数だから $A=\int f,B=\int tf$ とおくのが急所。すると $f$ が $1$ 次式に決まり、$A,B$ の定義に戻して連立を解く。

発展 — 一歩先へ。 この形の等式は「積分方程式」と呼ばれる。中身の $(x+t)$ のような部品(核という)が $x$ の多項式なら、解 $f$ も同じ次数までの多項式になる。核の形が解の形を決めるのだ。核が $xt$ なら $f$ は「$x$ の1次+元の $x$」、核が $(x+t{)}^2$ なら $f$ は2次式、という具合に、まず「形を見抜く」ところから始まる。

別解

関数の形から先におく(形が見えれば怖くない)。 与式の右辺をよく見ると、$x$ の入り方は「$x$ の1次」と「定数」だけ。だから最初から $f(x)=px+q$ とおいてしまう手もある。

2つの積分を $p,q$ で直接計算すると

$${\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{p}{2}+q,{\int }_0^{1}tf(t)dt=\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

与式に代入して

$$px+q=x+x\left(\frac{p}{2}+q\right)+\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

$x$ の係数と定数項をそれぞれ比較すると

$$p=1+\frac{p}{2}+q,q=\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

解いて $p=-6,q=-4$、つまり $f(x)=-6x-4$。

積分に名前を付ける(本解の $A,B$)か、関数の形に名前を付ける($p,q$)か。同じ連立に着くが、「形から入る」ほうが手が動く人も多い。仕上げに検算:$x+{\int }_0^1(x+t)(-6t-4)dt=x+(-7x-4)=-6x-4$ で、確かに元の式を満たす。