積分の考えの解説

積分の考えは、微分の逆の操作として不定積分を定義し、定積分で面積を求める単元です。数学IIでは整式だけを積分するので、計算そのものは易しく、この単元で問われるのは「面積を正しく立式できるか」と「計算を短くする公式を使えるか」の2点です。この記事では、面積の立式の手順と、この単元特有の公式、そして「定積分で表された関数」の扱いを説明します。

不定積分と定積分

不定積分は微分の逆で、$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ です。積分定数 $C$ を忘れないこと、そして「$F^{\prime }(x)=f(x)$ と初期条件から $F(x)$ を決める」型(条件から関数を決める)で $C$ を実際に決めることが、最初の練習です。

定積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ は、まず原始関数を求めてから上端と下端を代入します。展開が必要な式は先に展開してから積分します(標準の展開して計算)。

偶関数(グラフが $y$ 軸対称)は ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$、奇関数(原点対称)は $0$ になります。整式なら、偶数次の項と奇数次の項に分けて計算すると速くなります。奇関数の定積分、偶関数の定積分、偶関数・奇関数に分けて計算の3問で、この省力化を身につけてください。

面積は「上 − 下」を積分する

2つの曲線で囲まれた面積は、「上の曲線 − 下の曲線」を、交点の $x$ 座標の間で積分します。$x$ 軸との間の面積で、曲線が $x$ 軸より下にあるなら、$-f(x)$ を積分します(引き算の向きを間違えると面積が負になります)。曲線と x 軸で囲む面積、2曲線で囲む面積、x 軸の下にある部分の面積で、「どちらが上か」を図で確かめてから式を立てる手順を固めてください。

このサイトの面積の問題には、塗り分けの図を付けてあります。上下関係が途中で入れ替わる問題(3次曲線と直線など)では、交点で区間を分けて別々に積分する必要があるので、図で入れ替わる点を確かめてください。

絶対値を含む定積分は、絶対値の中身の符号が変わる点で区間を分けます(標準の絶対値を含む定積分と2次)。

6分の1公式で計算を短くする

放物線と直線が2点 $\alpha$、$\beta$ で交わるとき、その間の面積は $\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ です。この公式(6分の1公式)を使うと、面積計算が交点の差だけで済みます。交点が x​ を含むときに特に効きます。標準の放物線と直線で囲む面積、6分の1公式、2つの放物線で囲む面積で使い方を確認し、実戦編の6分の1公式の証明で証明も見ておいてください。公式を使うときは「放物線と直線(または放物線どうし)」という条件を満たしているかを確認します。3次曲線には使えません。

面積の最小値(応用の囲む面積の最小値)は、6分の1公式で面積をパラメータの式にし、解と係数の関係で $(\beta -\alpha {)}^2$ を表す、という流れで解きます。

定積分で表された関数

$f(x)=x^2+{\int }_0^{1}f(t)dt$ のような式では、定積分の部分は定数なので $a$ とおき、$f(x)=x^2+a$ を積分の中に戻して $a$ を決めます(標準の定数型)。上端が $x$ になっている ${\int }_a^{x}f(t)dt$ は、$x$ で微分すると $f(x)$ になり、$x=a$ を代入すると $0$ になります。この2つの性質で、関数と定数 $a$ が決まります(標準の上端 x 型、応用の同名の問題)。微分と積分の関係で、微分すると元に戻る理由を確認してから進んでください。

つまずきやすいところ

最も多い失点は、面積の立式で「上下」と「区間」を取り違えることです。図を描かずに式を立てると、符号か区間のどちらかを間違えます。交点を求め、図を描き、上下を確かめ、区間ごとに式を立てる、という順序を固定してください。

次に、6分の1公式を使える条件を確認せずに使う誤りがあります。上に述べたとおり、放物線と直線(または放物線と放物線)にしか使えません。3次曲線と接線で囲む面積(応用の同名の問題)は、接点が重解になることを使って因数分解し、12分の1公式に相当する形で計算します。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、不定積分、条件からの決定、定積分、面積、偶奇の対称性、微分と積分の関係の順です。標準12問で展開、絶対値、6分の1公式、定積分で表された関数、面積の最小、3次曲線を扱い、応用8問で面積の最小値、接線で囲む面積、重み付きの関数、面積の2等分、面積から直線を決める問題へ進みます。

入試では、放物線と直線で囲む面積の最小値、面積の2等分、3次曲線と接線の面積が定番で、微分の単元(接線・極値)と組み合わさります。難関(★★★★)以上には、12分の1公式、定積分を最小にする定数、二項係数の和を積分で求める問題など、積分の計算技術を広げる問題を集めました。数学IIIの積分法では、この単元の面積の立式がそのまま、三角関数や指数関数を含む曲線に拡張されます。