囲む面積の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 囲む面積 $S$ を求め、その最小を考える問題。

まず $S$ を傾き $m$ の式にする。放物線と直線で囲む面積だから、$\frac{1}{6}$ 公式が使える。

$\frac{1}{6}$ 公式は交点の差 $\beta -\alpha$ で面積を書く。だから $\beta -\alpha$ を $m$ で表せばよい。

$\beta -\alpha$ そのものは出しにくい。だが $2$ 乗なら解と係数の関係で $m$ の式になる。

こうして $S$ は $\beta -\alpha$ の $3$ 乗を通じて $m$ の関数になる。あとはその最小を探すだけだ。

① 交点の情報を出す。 $x^2=mx+1$ より $x^2-mx-1=0$。解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係で

$$\alpha +\beta =m,\alpha \beta =-1$$

② $\beta -\alpha$ を $m$ で表す。

$$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =m^2-4(-1)=m^2+4$$

$$\beta -\alpha =\sqrt{m^2+4}$$

③ $\frac{1}{6}$ 公式で $S$ を表す。

$$S=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{(m^2+4{)}^{\frac{3}{2}}}{6}$$

④ 最小を求める。 $S$ は $m^2$ が小さいほど小さい。$m^2\geqq 0$ より $m=0$ で最小。

$$S_{\min }=\frac{4^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

まとめ:「面積を $m$ で表して最小化」は、$\frac{1}{6}$ 公式 + 解と係数の関係の合わせ技。$\beta -\alpha$ を直接求めず $(\beta -\alpha {)}^2$ から作るのがカギ。直線が水平($m=0$)のとき面積が最小になる。

発展 — 一歩先へ。 この問題で切片 $1$ を一般の正の数 $c$ に変えても、面積を最小にする傾きは変わらない。直線 $y=mx+c$ と放物線の交点は $x^2-mx-c=0$ の解で、広がりは $(\beta -\alpha {)}^2=m^2+4c$。これは $m=0$ で最小になる。

つまり定点 $(0,c)$ を通る弦のうち、面積が最小になるのはいつでも水平な弦($m=0$)。そのときの最小面積は $\frac{1}{6}(2\sqrt{c}{)}^3=\frac{4}{3}{c}^{3/2}$ で、切片 $c$ の $\frac{3}{2}$ 乗に比例する。

背景には対称性がある。$m$ を $-m$ に変えると、図全体が $y$ 軸に関して裏返るだけで面積は変わらない。だから面積は $m$ の偶関数で、対称の中心 $m=0$ が最小を与える。切片の高さによらず「水平な弦が最小」という形が保たれる。

別解

別解 — 面積を傾き $m$ の関数とみて微分する(得意な人向けの一般ルート)。 本解は「$S$ は $m^2$ が小さいほど小さい」と見抜いて即断した。その見抜きが利かない場合でも、$S$ を $m$ の関数として微分すれば、増減から機械的に最小が出る。

$S(m)=\frac{(m^2+4{)}^{3/2}}{6}$ を $m$ で微分する。合成関数の微分で

$$S^{\prime }(m)=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}(m^2+4{)}^{1/2}\cdot 2m=\frac{m}{2}\sqrt{m^2+4}.$$

$\sqrt{m^2+4}>0$ だから、$S^{\prime }(m)$ の符号は $m$ の符号と同じ。$m<0$ で $S$ は減少、$m>0$ で増加する。

よって $m=0$ で最小。$S(0)=\frac{4^{3/2}}{6}=\frac{4}{3}$ で本解と同じ。$m^2$ の単調性に気づかなくても、微分と増減表という決まった道具で最小にたどり着ける。