偶関数・奇関数に分けて計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 被積分関数 $x^2+x$ は、偶関数でも奇関数でもない(偶数乗と奇数乗が混じっている)。

しかし、$2$ 項に分ければ、それぞれは対称性を持つ。

$${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx=\underset{\text{偶関数}}{\underbrace{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}}+\underset{\text{奇関数}}{\underbrace{{\int }_{-1}^{1}xdx}}$$

奇関数の項は、$0$。 計算する必要すらない。

$${\int }_{-1}^{1}xdx=0$$

偶関数の項は、半分を $2$ 倍。

$${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx=2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

足す。

$$\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$$

「奇数乗の項は捨てる」 — この一手で、計算が半分になった。

① 偶・奇に分ける。 $x^2$ は偶関数、$x$ は奇関数。

$${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx+{\int }_{-1}^{1}xdx$$

② 奇関数の部分は消える。 ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$。

③ 偶関数の部分を計算する。

$${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx=2[\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{2}{3}$$

よって全体は $\frac{2}{3}$。

まとめ:対称区間の積分は、偶と奇に分けると速い。奇の項は消えるので、偶の項だけ $2$ 倍公式で計算すればよい。

発展 — 一歩先へ。 「奇関数の項は、対称区間で $0$ になる」— この性質は、フーリエ級数で決定的な役割を果たす。

フーリエ級数とは。 任意の周期関数を、$\sin$ と $\cos$ の和で表す方法だ。

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

問題は、係数 $a_n$、$b_n$ をどう求めるかである。

答え: 積分を使う。

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

なぜ、この積分で係数が取り出せるのか。

カギは「直交性」だ。

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cdot \sin nxdx=0(\text{常に!})$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cdot \cos nxdx=0(m\ne n)$$

「違う波どうしを掛けて積分すると、$0$ になる。」

理由は、まさに対称性である。 $\cos mx\cdot \sin nx$ は奇関数(偶 $\times$ 奇 $=$ 奇)だから、対称区間の積分は $0$。

だから、$f(x)$ に $\cos nx$ を掛けて積分すると、$\cos nx$ の成分だけが生き残り、他はすべて $0$ になる — 狙った係数だけを"抽出"できる。

「奇関数の積分は $0$」という性質が、フーリエ解析という巨大な理論を支えている。

そして、フーリエ解析は現代技術の心臓部だ。

• 音楽の圧縮(MP3)
• 画像の圧縮(JPEG)
• 音声認識、ノイズ除去
• 医療画像(MRI、CT)
• 通信(電波の変調)

あなたがスマホで音楽を聴くたび、写真を送るたび、${\int }_{-1}^{1}xdx=0$ という事実が、静かに働いている。

対称性による"打ち消し"は、単なる計算の省略ではない。 それは、情報を分離し、抽出するための原理なのである。

別解

素直に計算しても、もちろん解ける。 $2$ つのルートを比べて、対称性の技のありがたみを確認しよう。そして、この技が使えない場合も押さえる。

素直ルート: そのまま積分する。

$${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^1$$

上端 $x=1$:

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$$

下端 $x=-1$:

$$\frac{(-1{)}^3}{3}+\frac{(-1{)}^2}{2}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$$

引く。

$$\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}✓$$

同じ答え。 しかし分数の計算が $4$ 回入った — 符号ミス・通分ミスの機会が $4$ 回ある。

対称性ルートなら、分数計算は $1$ 回だけ($2\times \frac{1}{3}$)。事故のリスクが激減する。

特に $(-1{)}^3=-1$ の符号処理は、ミスの温床だ。 $(-1{)}^3$ を $+1$ としてしまえば、答えが変わってしまう。

「計算しなくてよい部分は、計算しない」 — これが最強のミス防止策である。

さて、この技が使えない場合を確認しておこう。

ケース1: 区間が原点対称でない。

$${\int }_0^1(x^2+x)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$$

奇関数の項($x$)も、ちゃんと寄与している($\frac{1}{2}$ の部分)。$0$ にはならない。

「区間が $[-a,a]$ の形」でなければ、対称性の技は使えない。

ケース2: 区間がずれている。

$${\int }_{-1}^2(x^2+x)dx$$

$[-1,2]$ は原点対称ではない → 素直に計算するしかない。

「対称性が使えるか」の判定は、$2$ つ。

1. 積分区間が $[-a,a]$ の形か?
2. 被積分関数の偶奇は?

この $2$ つを、積分を始める前に確認する。 $5$ 秒の確認で、計算量が半分になることがある。

そして、対称性が使えないときは、素直に計算する。 無理に使おうとすると、間違える。

「使えるときに使う、使えないときは使わない」 — 当たり前だが、これを見極める判断力こそが、計算力の正体である。

検算も忘れずに。 答え $\frac{2}{3}$ は妥当か?

$x^2$ の積分($\frac{2}{3}$)は正、$x$ の積分は $0$ — 合計は $\frac{2}{3}$ ✓ 図形的にも、$x^2$ の面積が残るだけだから、納得できる。