微分と積分の関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この式は、微積分学の基本定理そのものだ。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

「積分してから微分すると、元に戻る。」

答えは、被積分関数に $t=x$ を代入するだけ。

$$\frac{d}{dx}{\int }_1^x(t^2-1)dt=x^2-1$$

計算は、これで終わり。

急所は、記号の使い分けだ。

• $t$: 積分の中で動く変数(積分変数)。積分が終われば消える
• $x$: 積分の上端。積分の結果は $x$ の関数になる

${\int }_1^x(t^2-1)dt$ は「$x$ の関数」である($t$ は消えている)。

その関数を $x$ で微分すると、被積分関数の $t$ を $x$ に置きかえたものになる — これが定理の主張だ。

上端が $x$ の定積分を $x$ で微分すると、被積分関数の $t$ を $x$ に置きかえたものになる。

$$\frac{d}{dx}{\int }_1^x(t^2-1)dt=x^2-1$$

(確かめ:${\int }_1^x(t^2-1)dt=[\frac{t^3}{3}-t{]}_1^x=\frac{x^3}{3}-x-(\frac{1}{3}-1)$。これを微分すると $x^2-1$。)

まとめ:「${\int }_a^x$ を $x$ で微分 = 中身の $t$ を $x$ に」。下端 $a$ が何であっても結果は同じ(定数部分は微分で消える)。

発展 — 一歩先へ。 「積分してから微分すると元に戻る」— では、上端が $x$ でなく、$x$ の関数だったら?

$$\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^2}(t^2-1)dt=?$$

単純に $t=x^2$ を代入するだけでは、間違いだ。

合成関数の微分(連鎖律)が必要になる。

$$F(u)={\int }_1^u(t^2-1)dt(u=x^2)$$

$$\frac{d}{dx}F(x^2)=F^{\prime }(x^2)\times \frac{d(x^2)}{dx}=\{(x^2{)}^2-1\}\times 2x=2x(x^4-1)$$

「被積分関数に上端を代入」× 「上端の微分」 — 後ろの $2x$ を忘れてはいけない。

一般形で書くと

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$$

この形は、大学入試でも問われる。

そして、下端が $x$ の場合はどうか。

$$\frac{d}{dx}{\int }_x^{b}f(t)dt=?$$

上端と下端を入れかえると、符号が反転する。

$${\int }_x^{b}f(t)dt=-{\int }_b^{x}f(t)dt$$

$$\frac{d}{dx}{\int }_x^{b}f(t)dt=-f(x)$$

マイナスがつく!

「上端で微分 → そのまま」「下端で微分 → 符号反転」 — この違いを押さえておこう。

さらに、両方が $x$ の関数なら

$$\frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt=f(h(x))h^{\prime }(x)-f(g(x))g^{\prime }(x)$$

ライプニッツの積分則の特別な場合だ。

この公式は、物理や工学で「積分の中に変数が入っている量」を扱うときに、頻繁に使われる。

電磁気学のマクスウェル方程式(積分形)、流体力学のレイノルズの輸送定理 — 「動く境界での積分の微分」を扱う場面は、実に多い。

基本定理は、単なる計算規則ではない。 それは「積分と微分がどう絡み合うか」を語る、解析学の文法なのである。

別解

定理を信じずに、実際に積分してから微分してみよう。 本当に元に戻るのか — この目で確かめる。

手順1: まず、定積分を計算する。

$${\int }_1^x(t^2-1)dt={\left[\frac{t^3}{3}-t\right]}_1^x$$

上端 $t=x$:

$$\frac{x^3}{3}-x$$

下端 $t=1$:

$$\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$$

引く。

$${\int }_1^x(t^2-1)dt=\frac{x^3}{3}-x-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{x^3}{3}-x+\frac{2}{3}$$

これは $x$ の関数だ($t$ が消えている ✓)。

手順2: これを $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}-x+\frac{2}{3}\right)=x^2-1+0=x^2-1$$

元の被積分関数に戻った! ✓

定理は正しかった。

注目してほしいのは、$\frac{2}{3}$ という定数(下端 $1$ から来た部分)が、微分で消えたこと。

「下端が何であっても、微分すれば同じ結果になる」 — 下端は定数を生むだけで、微分すれば消えてしまう。

$$\frac{d}{dx}{\int }_5^x(t^2-1)dt=x^2-1(\text{下端を }5\text{ に変えても、同じ!})$$

この事実が、定理の本質を語っている。

${\int }_a^{x}f(t)dt$ は、$f$ の原始関数の $1$ つである — 下端 $a$ を変えると、定数だけが変わる(積分定数の正体だ!)。

微積分学の基本定理を、$2$ つの形で書いておこう。

$$\boxed{\text{形1: }\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}(\text{積分してから微分 → 元に戻る})$$

$$\boxed{\text{形2: }{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(F^{\prime }=f)}(\text{微分の逆で、面積が求まる})$$

この $2$ つは、同じ定理の表と裏である。

形1が言うのは、「面積を上端で微分すると、その点の高さになる」ということ。

直感的に理解しよう。 面積 $S(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ を考える。

$x$ を少し($h$ だけ)増やすと、面積はどれだけ増えるか?

増えた部分は、幅 $h$、高さ約 $f(x)$ の"細長い短冊"だ。

$$S(x+h)-S(x)\approx f(x)\times h$$

$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h}\approx f(x)$$

$h\to 0$ とすると

$$S^{\prime }(x)=f(x)✓$$

「面積の増加率 $=$ その点の高さ」 — 当たり前のようだが、これが基本定理の核心だ。

面積を求める(積分)ことと、傾きを求める(微分)ことが、逆の操作である — この発見が、$17$ 世紀の数学革命の中身だった。

そして、この定理があるから、私たちは面積を「原始関数の差」として計算できる。 無限個の長方形を足す必要は、もうない。