絶対値を含む定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値つきの定積分。絶対値は「中身の符号で $2$ 通り」なので、まず符号を調べる。

$x^2-2x=x(x-2)$。$0\le x\le 2$ では $x(x-2)\le 0$(負)、$2\le x\le 3$ では正。

だから区間を $x=2$ で分ける。$[0,2]$ では $|x^2-2x|=-(x^2-2x)=2x-x^2$、$[2,3]$ ではそのまま。

$2$ つの積分を別々に計算して足す。符号を無視して一気に積分すると間違える。

① 符号を調べる。 $x^2-2x=x(x-2)$。$0\le x\le 2$ で $\le 0$、$2\le x\le 3$ で $\ge 0$。

$$|x^2-2x|=\{\begin{array}{ll}-(x^2-2x)=2x-x^2& (0\le x\le 2)\\ x^2-2x& (2\le x\le 3)\end{array}$$

② 区間ごとに積分する。

$${\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$ $${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$$

③ 足す。

$${\int }_0^3|x^2-2x|dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

まとめ:絶対値の定積分は「符号で区間分け → 各区間で外して積分 → 足す」。負の区間 $[0,2]$ では $-(x^2-2x)=2x-x^2$ と反転するのがポイント。区間の境目 $x=2$ で漏れなく分ける。

発展 — 一歩先へ。 絶対値つき積分は「符号の変わる点で区間を割る」が鉄則。被積分関数のグラフを描き、$x$ 軸の下の面積を正に読み替える。$\int |f|$ は $f$ のグラフと $x$ 軸で囲む総面積で、$\int f$(符号つき)とは別物。物理では「移動距離」と「変位」の違いに対応する。

別解

別解 — $[0,2]$ の片は $\frac{1}{6}$ 公式で(得意な人向けの視点)。 $[0,2]$ の部分は、放物線 $y=x^2-2x$ が根 $0$ と $2$ の間で $x$ 軸の下に作る面積そのもの。これは $\frac{1}{6}$ 公式が使える形だ。

$${\int }_0^2\{-(x^2-2x)\}dx=\frac{1}{6}|1|(2-0{)}^3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

$[2,3]$ の部分は根の間ではないので、素直に積分する。

$${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}.$$

合わせて $\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。区間を分けて両方を素直に積分する本解と同じ。「根から根まで」の片は $\frac{1}{6}$ 公式が効く、と見分けられると計算が軽くなる。