数学II / 積分の考え
定積分を含む関数(上端 x 型)
問題
関数 と定数 が、すべての で を満たす。 と の値を求めよ。
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両辺を微分して を出す。 は『上端と下端がそろうと定積分は 』という事実から。答えが つ出る理由も考えてみよう。
解答・解説
方針
両辺を で微分すると左辺は 。次に を代入すると左辺は になり、右辺 から の方程式ができる。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分の上端に が入った型。基本の解き方が使える。
まず両辺を で微分する。左辺は になり、右辺の微分から が決まる。
次に を代入する。左辺は だから、右辺 が の方程式になる。
係数が変わっても「微分で 、代入で 」の二段構えは変わらない。型の安定を確かめる問題だ。
① 微分して を出す。 両辺を で微分。左辺は 、右辺は 。
② を代入して を出す。 左辺は 。
まとめ:上端 型は「微分で 」「 代入で から 」の 段。右辺が で になる、という条件が を決める。 が 個出るのは自然なことだ。
発展 — 一歩先へ。 下端 を変えることは、積分定数を選ぶことに近い。 の原始関数を とすると で、 を動かすと右辺は定数 だけ上下する。目標の関数 にぴったり重ねるには、まず両辺を微分して が決まり、次に で左辺が になることから 、すなわち は右辺の零点でなければならない。
だから条件を満たす の個数は、右辺が実根をいくつもつかで決まる。右辺が のように実根をもたなければ(判別式 )、そもそもこの形に表せる は無い。ある関数を の形に書けるかどうかは、その関数が自分自身の零点をもつかにかかっている、という一般則が見えてくる。
、 または
別解
別解 — 面積が になる測り始めを読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 は、 から まで測った符号つきの面積。この値が に等しいという。
測り始めの点 では、区間の幅が だから面積も 。つまり右辺は でちょうど になるはずだ。
右辺を因数分解すると 。これが になるのは と 。だから測り始め の候補は か 。
は面積の増える速さ、つまり右辺の傾き 。 が つあるのは、「 から数え始める」か「 から数え始める」かの違いで、どちらでも同じ になる。微分してから代入する本解と、見ている中身は同じだ。
ポイント
- 微分 → 。
- 代入 → 右辺 が の方程式。
よくある間違い
- 両辺を微分して を出す発想が浮かばず、積分の中の を求められない。
- を決めるのに 代入で を使わず、 を放置してしまう。
- の解を だけにして、 を落とす。