面積から係数を逆算する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積が与えられて、係数 $a$ を逆算する問題。面積を $a$ の式で表すのが先。

放物線 $y=x^2+ax$ と $x$ 軸の交点は、$y=0$ すなわち $x(x+a)=0$ から $x=0,-a$。

$a>0$ なので、$-a<x<0$ で放物線は $x$ 軸の下(負)。囲む面積はこの区間の $|y|$ の積分。

放物線と $x$ 軸で囲む面積は $\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}{a}^3$。これが $\frac{9}{2}$ になる $a$ を解く。

① 交点を求める。 $x^2+ax=x(x+a)=0$ より $x=0,-a$。$a>0$ だから交点は $-a<0$ と $0$。

② 面積を $1/6$ 公式で。 $x^2$ の係数は $1$、交点の間隔は $0-(-a)=a$。よって面積は

$$S=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot a^3=\frac{a^3}{6}$$

③ $a$ を求める。 $\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}$ より

$$a^3=27⟹a=3$$

($a>0$ より $a=3$。)

まとめ:面積からの逆算は「面積を $a$ の式($1/6$ 公式で $\frac{a^3}{6}$)にして方程式」。交点間隔 $a$ の $3$ 乗に比例するので、$\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}$ から $a^3=27$、$a=3$。$1/6$ 公式を使えば積分せずに面積が $a$ で書ける。

発展 — 一歩先へ。 面積という積分の値から係数を逆算するのは、条件から関数を復元する「逆問題」の一種。$\frac{1}{6}$ 公式のように面積が係数の簡単な式($\frac{a^3}{6}$)で書けると、逆算が方程式を解くだけになる。面積・体積・重心などの積分量から形を決める発想は、設計や最適化で広く使われる。

別解

別解 — $\frac{1}{6}$ 公式を使わず素直に積分(苦手な人向けの基本ルート)。 $\frac{1}{6}$ 公式を使わなくても、面積の定義に戻れば出る。$a>0$ のとき $-a<x<0$ で放物線は $x$ 軸の下(負)だから、面積は $-y$ の積分。

$$\text{面積}={\int }_{-a}^0\{-(x^2+ax)\}dx=-{\left[\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}{x}^2\right]}_{-a}^0.$$

下端 $x=-a$ を入れると $\frac{(-a{)}^3}{3}+\frac{a}{2}{a}^2=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{6}$。よって面積 $=\frac{a^3}{6}$。

これが $\frac{9}{2}$ だから

$$\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}⟹a^3=27⟹a=3.$$

$\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}{a}^3$ とする本解と同じ $a=3$。素直に積分しても $\frac{a^3}{6}$ が出るので、$\frac{1}{6}$ 公式はこの計算の結果を覚えているだけだと分かる。