数学II / 積分の考え

定積分で表された関数(下端が定数)

★★★★ 難関定積分で表された関数微分と積分

問題

等式 $\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 3 x + 2$ がすべての $x$ で成り立つとき、関数 $f (x)$ と定数 $a$ を求めよ。

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両辺を $x$ で微分すると、左辺の定積分は $f (x)$ になる。 $a$ は、 $x = a$ を代入したとき左辺(積分区間の幅 $0$ )が $0$ になることを使う。

解答・解説

方針

両辺を $x$ で微分すると、左辺は $f (x)$ (積分と微分は逆)。右辺の微分と等しいので $f (x)$ が決まる。 $a$ は、 $x = a$ を代入すると左辺が $0$ になることから決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分の中に未知関数 $f$ がある等式。 $f$ を取り出す手は「両辺を $x$ で微分」。

積分と微分は逆の操作。 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ となる。

右辺 $x^{2} - 3 x + 2$ を微分すれば $f (x)$ が決まる。

$a$ はまだ残る。そこで $x = a$ を代入する。左辺は $\int_{a}^{a} f d t = 0$ 。右辺も $0$ になる条件から $a$ が求まる。

定理

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

。また

\int_{a}^{a} f (t) d t = 0

① $f (x)$ を求める。 両辺を $x$ で微分する。左辺は $f (x)$ 、右辺は $(x^{2} - 3 x + 2)^{'} = 2 x - 3$ 。よって

$f (x) = 2 x - 3$

② $a$ を求める。 $x = a$ を代入すると左辺は $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ 。右辺は $a^{2} - 3 a + 2$ 。よって

$a^{2} - 3 a + 2 = 0 ⟹ (a - 1) (a - 2) = 0 ⟹ a = 1, 2$

よって $f (x) = 2 x - 3$ 、 $a = 1$ または $a = 2$ 。

まとめ:定積分で表された関数は「微分して $f$ 、下端代入で定数」。 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f = f (x)$ と $\int_{a}^{a} f = 0$ の $2$ つを使い分ける。 $a$ が $2$ つ出るのは、右辺 $= 0$ の解が $2$ つあるから。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ は微分積分学の基本定理。「積分してから微分すると元に戻る」。定積分で表された関数の問題は、この定理で微分して $f$ を、端点代入で定数を決めるのが定石。上端が $x$ の関数(例 $x^{2}$ )なら合成関数の微分も要る。

答

$f (x) = 2 x - 3$ 、 $a = 1$ または $a = 2$

別解

別解 — $f$ を代入して積分し、定数項から $a$ を出す(組み立てるルート)。 右辺が $2$ 次式だから $f$ は $1$ 次と見当がつく。 $f (x) = 2 x - 3$ を代入して、左辺の積分を実際に計算する。

$\int_{a}^{x} (2 t - 3) d t = [t^{2} - 3 t]_{a}^{x} = (x^{2} - 3 x) - (a^{2} - 3 a) .$

これが $x^{2} - 3 x + 2$ に等しい。 $x$ の項は自動で一致し、残る定数部分を比べると

$- (a^{2} - 3 a) = 2 ⟹ a^{2} - 3 a + 2 = 0 ⟹ a = 1, 2.$

微分して $f$ を出し、 $x = a$ を代入する本解と同じ結果。微分を使わずに「積分してから係数比較」でも、 $f$ と $a$ の両方が同時に決まる。定数項が $a$ を握っているのが見える。

ポイント

両辺を微分 → $f (x) = 2 x - 3$ 。
$x = a$ で $a^{2} - 3 a + 2 = 0$ → $a = 1, 2$ 。

よくある間違い

両辺を微分する発想が出ず、積分のまま $f$ を求めようとして詰まる。
$a$ を求めるのに $x = a$ 代入で左辺 $= 0$ を使わず、 $a$ を決められない。
$a^{2} - 3 a + 2 = 0$ の解を $a = 1$ の $1$ つだけとし、 $a = 2$ を落とす。