絶対値のグラフと直線が囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積の問題は、交点 → 対称性 → 絶対値の処理、の順で段取りする。

交点は $|x^2-1|=3$ から $x=\pm 2$。曲線 $y=|x^2-1|$ は偶関数だから、図形は $y$ 軸対称。右半分だけ計算して2倍すればよい。

右半分では、絶対値が $x=1$ で折れる。$[0,1]$ では $1-x^2$、$[1,2]$ では $x^2-1$ とはずして、上の直線 $y=3$ との差を積分する。

① 交点と対称性。 $|x^2-1|=3⟺x^2-1=\pm 3⟺x^2=4$(他は不適)、$x=\pm 2$。$y=|x^2-1|$ は偶関数だから面積は $x\ge 0$ の $2$ 倍。

② 絶対値をはずして積分する。 $[0,1]$ で $|x^2-1|=1-x^2$、$[1,2]$ で $|x^2-1|=x^2-1$。

$${\int }_0^2\{3-|x^2-1|\}dx={\int }_0^1\{3-(1-x^2)\}dx+{\int }_1^2\{3-(x^2-1)\}dx$$

$$={\int }_0^1(2+x^2)dx+{\int }_1^2(4-x^2)dx=\left(2+\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{7}{3}\right)=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$$

③ 対称性で2倍。 面積 $=2\times 4=8$。

まとめ:交点 $x=\pm 2$、偶関数の対称性で半分を $2$ 倍、折れ点 $x=1$ で絶対値を場合分け。$3-|x^2-1|$ を $2$ 区間で積分して $8$。

発展 — 一歩先へ。 直線の高さを一般の $c$($c>1$)にすると、交点は $x=\pm \sqrt{c+1}$、面積は $S(c)=\frac{4}{3}\left\{(c+1{)}^{3/2}-2\right\}$ になる($c=3$ で $\frac{4}{3}(8-2)=8$)。ここにも $(c+1{)}^{3/2}$ という「幅の3乗」の形が現れる。放物線がらみの面積では、いつも交点の幅の3乗が主役だ。

別解

外側の長方形から引く(くり抜きルート)。 「上の関数と下の関数の差を積分」で混乱しそうなら、外側を囲む長方形から不要部分を引けばよい。

囲まれる図形は、長方形 $-2\le x\le 2,0\le y\le 3$(面積 $4\times 3=12$)から、曲線 $y=|x^2-1|$ の下側を除いたもの。曲線の下の面積は、偶関数の対称性と折れ点 $x=1$ の分割で

$${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx=2\left\{{\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx\right\}=2\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=4$$

よって面積は

$$12-4=8$$

上下の差の積分(本解)と、箱から引く(本ルート)。「箱 $12$ から $4$ を引く」という数の見え方は検算に強く、差の式を立て間違えたときの保険になる。