定積分を最小にする定数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ を最小にする $a$。積分の中に $a$ がいるが、$a$ は定数。

だから先に $x$ で積分してしまえば、結果は $a$ の式になる。

$(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$ を項ごとに積分すると、$a$ の $2$ 次関数が出る。

$2$ 次関数の最小は平方完成。$a$ について平方完成して、最小を与える $a$ と最小値を読む。

① 展開して積分する。

$${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx={\int }_0^1(x^2-2ax+a^2)dx={\left[\frac{x^3}{3}-a{x}^2+a^{2}x\right]}_0^1=\frac{1}{3}-a+a^2$$

② $a$ の $2$ 次関数を最小化する。 $F(a)=a^2-a+\frac{1}{3}$ を平方完成する。

$$F(a)={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{12}$$

③ 最小。 $a=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{12}$。

まとめ:定積分の最小は「先に積分して $a$ の関数 → 平方完成」。$a$ は $x$ とは別の定数として積分の外に出す。$F(a)=a^2-a+\frac{1}{3}$ の頂点 $a=\frac{1}{2}$ で最小 $\frac{1}{12}$。$a=\frac{1}{2}$ は区間 $[0,1]$ の中点で、最小二乗の意味では平均にあたる。

発展 — 一歩先へ。 「$(x-a{)}^2$ の積分(あるいは総和)を最小にする $a$ は平均、最小値は分散」は最小二乗法の核心。データに直線や曲線を当てはめる回帰分析、測定値の最適推定、機械学習の損失関数まで、この一言が土台になっている。積分を確率(一様分布の期待値)と読み替えると、統計とつながる。

別解

別解 — 「最小二乗 $=$ 平均・最小値 $=$ 分散」と読む(得意な人向けの高い視点)。 ${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ は、区間 $[0,1]$ 上で「$x$ と定数 $a$ のズレの $2$ 乗の平均」(いわゆる最小二乗)。統計の言葉に翻訳できる。

「ズレの $2$ 乗の平均」を最小にする $a$ は、$x$ の平均。$[0,1]$ 上の $x$ の平均は

$$a={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}.$$

そのときの最小値は、$x$ の分散(平均まわりのばらつき)。

$$\text{最小値}={\int }_0^1{x}^{2}dx-{\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.$$

展開して平方完成する本解と同じ $a=\frac{1}{2}$、最小 $\frac{1}{12}$。「$(x-a{)}^2$ の積分を最小にする $a$ は平均、最小値は分散」は、データ解析・回帰分析の出発点そのものだ。