奇関数の性質を使う定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分区間が $-2$ から $2$。原点対称の区間だ。ここに気づくのが急所。

奇関数(原点対称、$f(-x)=-f(x)$)を対称区間で積分すると $0$。左右で打ち消し合うからだ。

$3x^3$ と $-5x$ は奇関数。この $2$ 項の積分は $0$。計算する必要すらない。

残る偶関数 $2x^2+1$ は、$0$ から $2$ の積分の $2$ 倍で済む。区間の対称性を使うと計算が半分以下になる。

① 奇関数の項を落とす。 $3x^3$ と $-5x$ は奇関数だから ${\int }_{-2}^2$ で $0$。残るのは偶関数の $2x^2+1$。

$${\int }_{-2}^2(3x^3+2x^2-5x+1)dx={\int }_{-2}^2(2x^2+1)dx$$

② 偶関数は $2$ 倍で。

$$=2{\int }_0^2(2x^2+1)dx=2{\left[\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^2=2\left(\frac{16}{3}+2\right)=2\cdot \frac{22}{3}=\frac{44}{3}$$

まとめ:原点対称区間の定積分は「奇関数は $0$、偶関数は $2$ 倍」。奇数次の項を消してから偶数次だけ計算するので、手間が大幅に減る。$3x^3,-5x$ を消し、$2x^2+1$ を $0$〜$2$ で積分して $2$ 倍。

発展 — 一歩先へ。 対称区間 $[-c,c]$ では、奇関数の積分は $0$、偶関数は $2{\int }_0^c$。関数を偶部分 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ と奇部分 $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ に分けると、積分に効くのは偶部分だけ。この「偶奇分解」はフーリエ級数(cos は偶・sin は奇)の考え方に直結する。

別解

別解 — 原始関数で正面から計算して確かめる(苦手な人向けの確認ルート)。 奇関数が消える性質を信じきれないときは、全部の原始関数を作って端点を入れれば必ず答え合わせができる。

$$F(x)=\frac{3}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+x.$$

$x=2$:$F(2)=12+\frac{16}{3}-10+2=4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$。

$x=-2$:$F(-2)=12-\frac{16}{3}-10-2=-\frac{16}{3}$。

差をとると

$$F(2)-F(-2)=\frac{28}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{44}{3}.$$

奇関数の項を落とす本解と同じ $\frac{44}{3}$。ここで偶数乗の項($\frac{3}{4}{x}^4$ は端点で同じ値なので差 $0$)…ではなく、$x^4,x^2$ の項が $F(2),F(-2)$ で同じ値になり差で消え、$x^3,x$ の奇数乗だけが $2$ 倍で効く。「奇関数だけ残る」の仕組みが、原始関数の計算からも見て取れる。