面積から直線を決める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積が先に与えられ、そこから定数 $c$ を逆に決める問題。

まず $\frac{1}{6}$ 公式で面積を $c$ の式にする。そして $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{9}{2}$ を解く。

交点の差 $\beta -\alpha$ は、解と係数の関係で $c$ の式にできる。

公式をふだんと逆向きに使い、与えられた面積から係数を逆算する。この向きの切り替えが発想の核だ。

① 交点の情報を出す。 $x^2=2x+c$ より $x^2-2x-c=0$。解を $\alpha ,\beta$ とすると

$$\alpha +\beta =2,\alpha \beta =-c$$

② 面積の式を立てる。 $\frac{1}{6}$ 公式より

$$S=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{9}{2}\Rightarrow (\beta -\alpha {)}^3=27\Rightarrow \beta -\alpha =3$$

③ $c$ を求める。 $(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ に代入。

$$3^2=2^2-4(-c)\Rightarrow 9=4+4c\Rightarrow c=\frac{5}{4}$$

まとめ:「面積を与えて直線を決める」は、$\frac{1}{6}$ 公式を逆に使う。$S$ から $\beta -\alpha$ を出し、$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ で $c$ を求める。面積の $\frac{9}{2}$ が交点の差 $3$ に翻訳されるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 直線 $y=2x+c$ は、$c$ を変えても傾き $2$ のまま。つまり平行な直線の族で、$c$ を上げると弦が上へ動く。

弦が上へ動くほど $2$ 交点は開く($\beta -\alpha =2\sqrt{1+c}$ が増える)。だから面積 $S=\frac{4}{3}(1+c{)}^{3/2}$ は $c$ について単調に増える。面積の値を $1$ つ決めれば、それを与える $c$ はただ $1$ つに決まる。

$2$ 点で交わるのは判別式が正、すなわち $1+c>0$、$c>-1$ のとき。境界 $c=-1$ では直線が放物線に接し($\beta -\alpha =0$)、面積は $0$。$c$ が $-1$ から増えるにつれ面積は $0$ から連続に増え、$\frac{9}{2}$ をちょうど一度だけ通る。

別解

別解 — 交点を実際に求める(苦手な人向けの具体ルート)。 解と係数の関係を使わず、交点そのものを出してもよい。

$x^2=2x+c$ より $x^2-2x-c=0$。左辺を平方完成して $(x-1{)}^2=1+c$、よって $x=1\pm \sqrt{1+c}$。$2$ つの交点の広がりは $\beta -\alpha =2\sqrt{1+c}$。

放物線と直線で囲む面積は $\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ だから

$$S=\frac{1}{6}{\left(2\sqrt{1+c}\right)}^3=\frac{1}{6}\cdot 8(1+c{)}^{3/2}=\frac{4}{3}(1+c{)}^{3/2}.$$

これが $\frac{9}{2}$ だから $(1+c{)}^{3/2}=\frac{27}{8}$、両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して $1+c=\frac{9}{4}$、$c=\frac{5}{4}$。交点を直接求めても、解と係数を使う本解と同じ $c=\frac{5}{4}$ にたどり着く。