定積分で表された関数(定数型)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分の中に $x$ がいるが、これは積分変数 $t$ とは無関係の定数だ。だから $x$ は積分の外に出せる。

すると ${\int }_0^{1}f(t)dt$ は $x$ を含まない、ただの定数。これを $a$ とおくと $f(x)=x^2+ax$ という具体形が見える。

あとは自己整合だ。この $f$ を $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ に代入すれば、$a$ の1次方程式になる。「$a$ とおいて、$a$ の式を作って解く」— 定積分で表された関数の王道である。

① 定数とおく。 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ とおくと $$f(x)=x^2+x{\int }_0^{1}f(t)dt=x^2+ax.$$ ② $a$ の方程式。 $f(t)=t^2+at$ を $a$ の定義に代入して $$a={\int }_0^1(t^2+at)dt={\left[\frac{t^3}{3}+\frac{a{t}^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}.$$ ③ 解く。 $a-\frac{a}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}$。よって $$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x.$$

まとめ $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ とおくと $f(x)=x^2+ax$、代入して $a=\frac{2}{3}$、$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x$。積分(定積分で表された関数)と方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 もし式が $f(x)=x^2+2x{\int }_0^{1}f(t)dt$(係数 $2$)なら、$a=\frac{1}{3}+a$ となり解が存在しない。更新式の比が $1$ で不動点をもたないからだ。「定積分で表された関数」に解があるかどうかは、この“比”が $1$ かどうかで決まる — 縮小写像の考え方が判定に効く。

別解

別解 — 「未知の定数を推測して直す」反復で(得意な人向けの直感ルート)。 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ を、いきなり方程式にせず「更新式」として眺める。$f(x)=x^2+ax$ を代入すると

$$a={\int }_0^1(t^2+at)dt=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}.$$

これを「今の $a$ から次の $a$ を作る」漸化式 $a_{\text{new}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{a}_{\text{old}}$ と読む。適当に $a_0=0$ から始めると $\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{7}{12},\dots$ と、掛かる比 $\frac{1}{2}$ で $\frac{2}{3}$ に吸い寄せられていく。

不動点(動かなくなる値)が $a=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}$ の解 $a=\frac{2}{3}$、すなわち答え。$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x$。

もちろん試験では方程式を直接解けばよい。だが「代入して自分自身に戻る」構造が縮小写像で、必ず1つの答えに収束する — この見方は、係数が変わったときに解が存在するかどうかの判断にも効く。