放物線と直線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 囲まれた部分の面積は、「上の曲線 $-$ 下の曲線」を交点から交点まで積分する。だから最初の仕事は交点探しだ。

$x^2=x+2$ を解いて $x=-1,2$。この区間では直線が上にいる。

さらに、放物線と直線の囲む面積には $\frac{1}{6}$ 公式という近道がある。交点の $x$ 座標 $\alpha ,\beta$ さえ分かれば、積分を実行せずに面積が出る。まず正直に「上 $-$ 下」で立式し、その結果として公式を確かめる、という順で身につけよう。

① なぜこの公式で面積が出るのかを確かめる。 放物線と直線で囲む面積は「(上の式)$-$(下の式)」の定積分。その差は必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$($\alpha ,\beta$ は交点)の形になり、これを積分すると

$${\int }_{\alpha }^{\beta }a(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{a(\beta -\alpha {)}^3}{6}$$

となる(この積分は必ずこの値。展開して計算すれば確かめられる)。面積は正の大きさなので絶対値をつけて $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$。だから交点の $x$ の差を3乗して6で割るだけで面積が出る。

② 交点を求める。 $x^2=x+2$ より $x^2-x-2=0$、$(x+1)(x-2)=0$、$x=-1,2$。

③ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数は $1$、$\beta -\alpha =2-(-1)=3$。

$$\text{面積}=\frac{1\times (2-(-1){)}^3}{6}=\frac{3^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

(ふつうに計算しても同じ:${\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\frac{9}{2}$。)

まとめ:$\frac{1}{6}$ 公式の正体は「${\int }_{\alpha }^{\beta }a(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{a(\beta -\alpha {)}^3}{6}$」。上$-$下の差が必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$ になるから、交点の差 $\beta -\alpha$ さえ分かれば展開・積分を丸ごと省ける。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{6}$ 公式の中身は ${\int }_{\alpha }^{\beta }-(x-\alpha )(x-\beta )dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ という恒等式だ。注目すべきは、面積が交点の幅 $\beta -\alpha$ だけで決まること。直線の傾きを変えても、交点の幅が同じなら面積は同じ — 直感に反するが、公式が保証している。

この「幅の $3$ 乗に比例」という構造は、放物線と接線・放物線どうし・面積の最小問題まで貫いて現れる。公式を暗記でなく「差関数の積分の閉じた形」として持っておくと、応用が全部つながる。

別解

「$2$ 本のグラフの囲み」を「$1$ 本のグラフと $x$ 軸の囲み」に翻訳する見方を紹介する。

上下の差を $1$ つの関数にまとめてしまう。

$$g(x)=(x+2)-x^2$$

もとの図で「直線と放物線のすき間の縦の長さ」が、新しい図では「$g(x)$ の高さ」になる。だから求める面積は、$y=g(x)$ と $x$ 軸が囲む面積と完全に同じだ。交点 $x=-1,2$ は $g(x)=0$ の解に対応する。

$g(x)=-(x+1)(x-2)$ は上に凸の放物線で、$[-1,2]$ で $x$ 軸の上。よって

$$S={\int }_{-1}^{2}g(x)dx=\frac{(2-(-1){)}^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

$2$ 曲線の問題がいつでも「差関数 $1$ 本」に潰せる — $\frac{1}{6}$ 公式が「放物線と直線」でも「放物線 $2$ つ」でも同じ顔で使える理由は、どちらも差が $2$ 次式だからだ。