面積を2等分する水平な直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「面積を $2$ 等分する水平線 $y=k$」。まず全体の面積を出し、その半分を作る $k$ を探す。

全体は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲む部分。上下に分ける水平線が入るので、$y$ 方向に積分すると見通しがよい。

高さ $y$ での横幅は、$x^2=y$ から $x=\pm \sqrt{y}$、幅 $2\sqrt{y}$。

上側(直線 $y=k$ と $y=4$ の間)の面積を $y$ で積分し、それが全体の半分になる条件から $k$ を求める。

① 全体の面積。 $y=x^2$ と $y=4$ の交点は $x=\pm 2$。

$$S={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

② 上側の帯の面積($y$ 積分)。 $k\le y\le 4$ で、幅は $2\sqrt{y}$ だから

$$S_{\text{上}}={\int }_k^{4}2\sqrt{y}dy={\left[\frac{4}{3}{y}^{3/2}\right]}_k^4=\frac{4}{3}\left(8-k^{3/2}\right)$$

③ 半分になる条件。 $S_{\text{上}}=\frac{1}{2}S=\frac{16}{3}$:

$$\frac{4}{3}(8-k^{3/2})=\frac{16}{3}⟹8-k^{3/2}=4⟹k^{3/2}=4$$

$k^{3/2}=4$ の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して $k=4^{2/3}=(2^2{)}^{2/3}=2^{4/3}=\sqrt[3]{16}$。

まとめ:水平線での $2$ 等分は「$y$ 方向に積分」。放物線の幅 $2\sqrt{y}$ を $y$ で積分し、上側が全体の半分になる $k$ を求める。$k^{3/2}=4$ から $k=\sqrt[3]{16}$。縦($x$)でなく横($y$)に切るのが発想の転換。

発展 — 一歩先へ。 面積を $y$ で切るか $x$ で切るかは自由。水平線で $2$ 等分するなら $y$ 積分、鉛直線なら $x$ 積分が素直。同じ図形でも「どの向きに薄切りにするか」で計算量が変わる。回転体の体積(バウムクーヘン分割 vs 円盤分割)でも同じ選択が現れる。切る向きを選ぶ目を養うと積分が軽くなる。

別解

別解 — 下側を $x$ 方向に積分し $\frac{1}{6}$ 公式(別ルート)。 $2$ 等分は「下側 $=$ 全体の半分」でも「上側 $=$ 半分」でも同じこと。ここでは下側(放物線 $y=x^2$ と直線 $y=k$ の間)を $x$ で積分する。

下側は放物線と水平線 $y=k$ で囲む部分。交点は $x^2=k$ から $x=\pm \sqrt{k}$。放物線と直線で囲む面積だから $\frac{1}{6}$ 公式が使える。

$$\text{下側}={\int }_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}(k-x^2)dx=\frac{1}{6}(\sqrt{k}-(-\sqrt{k}){)}^3=\frac{1}{6}(2\sqrt{k}{)}^3=\frac{4}{3}{k}^{3/2}.$$

全体は $\frac{32}{3}$ なので、下側 $=$ 半分 $=\frac{16}{3}$。

$$\frac{4}{3}{k}^{3/2}=\frac{16}{3}⟹k^{3/2}=4⟹k=4^{2/3}=\sqrt[3]{16}.$$

上側を $y$ で積分する本解と同じ $k=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$。下側なら $x$ 方向で $\frac{1}{6}$ 公式がそのまま使えるので、$y$ 積分の $\sqrt{y}$ を避けられる。