2つの放物線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相手が放物線 $2$ つになっても、面積の作り方は変わらない。交点を求め、「上 $-$ 下」を積分する。

$x^2=2x-x^2$ から交点は $x=0,1$。区間内では $y=2x-x^2$ が上だ。

引き算した差 $(2x-x^2)-x^2=2x-2x^2$ は $2$ 次式。差が $2$ 次式なら $\frac{1}{6}$ 公式が使える。ただし $|a|$ は引き算した後の $x^2$ の係数($2$)を使う — ここが放物線どうしのときの注意点だ。

① 交点を求める。 $x^2=2x-x^2$ より $2x^2-2x=0$、$2x(x-1)=0$、$x=0,1$。

② 上下と差を出す。 $0<x<1$ で $2x-x^2>x^2$(上は $y=2x-x^2$)。差は

$$(2x-x^2)-x^2=-2x^2+2x$$

$x^2$ の係数は $-2$ なので $|a|=2$。

③ $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $\beta -\alpha =1-0=1$。

$$\text{面積}=\frac{2\times 1^3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

まとめ:$2$ 放物線で囲む面積も、引き算した $2$ 次式に $\frac{1}{6}$ 公式。係数 $|a|$ は差の $x^2$ の係数(ここでは $2$)を使う。上 − 下 で $2$ 次式が残れば公式圏内だ。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 曲線の平均が直線になったのは偶然ではない。$x^2$ の係数が $+1$ と $-1$ — 符号が逆で大きさが同じ — だから、平均で $2$ 次の項が消えたのだ。この条件を満たす放物線ペアの囲みは、いつも「中央の直線」で二等分される。

さらに、$2$ つの放物線は交点の中点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ について互いに点対称でもある。凸の向きが逆の同型放物線は、回転させると重なる双子 — レンズ形の均整のとれた見た目には、こうした対称性の裏付けがある。

別解

このレンズ形、実はまん中に直線が隠れている。

$2$ つの放物線の「平均」をとってみる。

$$\frac{x^2+(2x-x^2)}{2}=x$$

どの $x$ でも、$2$ 曲線のちょうど中間の高さは直線 $y=x$ の上にある。つまりレンズは直線 $y=x$ で上下対等に切られていて、上半分と下半分の面積が等しい。

そこで半分だけ計算する。下半分は $y=x$ と $y=x^2$ の囲み(差は $x-x^2$、交点 $0,1$)で

$${\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

レンズ全体はその $2$ 倍で $\frac{1}{3}$。$\frac{1}{6}$ 公式の $|a|=2$ が担っていた「$2$ 倍」は、この対称性の $2$ 倍だったと分かる。図形の対称を先に見つけると、計算と意味が同時に手に入る。