偶関数の定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は偶関数だ。

$$f(x)=3x^2⟹f(-x)=3(-x{)}^2=3x^2=f(x)$$

偶関数のグラフは、$y$ 軸対称。

原点対称な区間で積分すると、左右の面積が"等しい"(打ち消し合わない)。

$$\boxed{{\int }_{-a}^a(\text{偶関数})dx=2{\int }_0^a(\text{偶関数})dx}$$

半分だけ計算して、$2$ 倍すればよい。

$${\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx=2{\int }_0^{1}3x^{2}dx=2[x^3{]}_0^1=2\times 1=2$$

まともに計算しても、同じ。

$$[x^3{]}_{-1}^1=1-(-1)=2✓$$

偶関数は $2$ 倍、奇関数は $0$ — 対称性による、$2$ つの必殺技だ。

① 偶関数だと見抜く。 $f(x)=3x^2$ は $f(-x)=3x^2=f(x)$ なので偶関数。$y$ 軸対称。

② $2$ 倍公式を使う。

$${\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx=2{\int }_0^{1}3x^{2}dx=2[x^3{]}_0^1=2\times 1=2$$

まとめ:偶関数 × 対称区間 は「片側の $2$ 倍」。下端が $0$ になるぶん代入がやさしくなる。$x^{\text{偶数乗}}$ は偶関数だ。

発展 — 一歩先へ。 どんな関数も、偶関数と奇関数の和に分解できる。

$$f(x)=\underset{\text{偶関数部分}}{\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}}+\underset{\text{奇関数部分}}{\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}}$$

確かめよう。 第 $1$ 項を $g(x)$、第 $2$ 項を $h(x)$ とすると

$$g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)(\text{偶関数}✓)$$

$$h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)(\text{奇関数}✓)$$

そして $g(x)+h(x)=f(x)$ ✓

例: $f(x)=x^2+x$ を分解する。

$$g(x)=\frac{(x^2+x)+(x^2-x)}{2}=x^2(\text{偶})$$

$$h(x)=\frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{2}=x(\text{奇})$$

$x^2+x=x^2+x$ — 当たり前だが、多項式では"偶数乗と奇数乗に分ける"だけである。

この分解が、積分で威力を発揮する。

$${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx=\underset{\text{偶: }2{\int }_0^1}{\underbrace{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}}+\underset{\text{奇: }0}{\underbrace{{\int }_{-1}^{1}xdx}}=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$$

次の問題の答えが、もう出てしまった。

そして、この「偶奇分解」の考え方は、はるかに広い場面で使われる。

関数を、"性質のよい部品"に分解する — これが解析学の中心的な戦略だ。

• 偶関数 $+$ 奇関数(対称性による分解)
• フーリエ級数($\sin$ と $\cos$ への分解)
• テイラー展開(多項式への分解)
• 固有関数展開(量子力学)

「複雑なものを、扱いやすい部品の和に分ける」

そして、部品ごとに計算して、最後に足し合わせる — 線形性があるからこそ、この戦略が使える。

偶関数と奇関数への分解は、その最も簡単な例なのだ。

$1$ つの関数を、$2$ つの対称性に分ける。 そこから、解析学の大きな流れが始まっている。

別解

偶関数と奇関数を、完全に整理しておこう。 この $2$ つを見分けられれば、積分の計算量が劇的に減る。

定義と、見分け方。

見分け方のコツ: $x$ の"次数"を見る。

• 偶数乗だけ($x^2$、$x^4$、定数 $=x^0$)→ 偶関数
• 奇数乗だけ($x$、$x^3$、$x^5$)→ 奇関数
• 混じっている($x^2+x$)→ どちらでもない

「偶数乗 → 偶関数、奇数乗 → 奇関数」 — 名前の由来そのままだ。

面積で確認する。

右半分($0$ から $1$)。

$${\int }_0^{1}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^1=1$$

左半分($-1$ から $0$)。

$${\int }_{-1}^{0}3x^{2}dx=[x^3{]}_{-1}^0=0-(-1)=1$$

両方とも $1$ — 等しい!

$$1+1=2✓$$

偶関数では、左右の面積が同じ(打ち消さない)。だから $2$ 倍でよい。

奇関数との違いを、絵で見よう。

奇関数($y=x^3$): 左半分が $x$ 軸の下(負)、右半分が上(正)→ 打ち消し合って $0$

偶関数($y=3x^2$): 左右とも $x$ 軸の上(正)→ 足し合わさって $2$ 倍

「対称の仕方」が違うので、結果が正反対になる。

そして、この $2$ つの技を組み合わせると、複雑な積分が一瞬で解ける。

例: ${\int }_{-2}^2(3x^4-5x^3+2x^2-7x+1)dx$

項ごとに、偶奇を判定する。

奇数乗の項($-5x^3$ と $-7x$)は、計算するまでもなく $0$!

残った偶数乗の項だけを、半分の区間で計算して $2$ 倍する。

$$=2{\int }_0^2(3x^4+2x^2+1)dx=2{\left[\frac{3x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^2=2\left(\frac{96}{5}+\frac{16}{3}+2\right)$$

計算量が、大幅に減った。

「奇数乗は捨てる、偶数乗は半分にして $2$ 倍」 — 原点対称な区間の積分では、この $2$ 行が最初の一手になる。

次の問題(問題 $10$)で、まさにこの技を使う。