絶対値を含む定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値のついた積分は、中身の符号で区間を割るのが鉄則。$x^2-1$ は $x=1$ で符号が変わる。

$0\le x\le 1$ では $x^2-1\le 0$ だから $|x^2-1|=1-x^2$、$1\le x\le 2$ では $|x^2-1|=x^2-1$。

2つの区間で符号を正しく直してから積分し、足し合わせる。絶対値は「場合分けして外す」が基本だ。

① 区間を分ける。 $x^2-1\le 0⟺-1\le x\le 1$。区間 $[0,2]$ を $[0,1]$ と $[1,2]$ に分ける。

② それぞれ積分。 $${\int }_0^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},$$ $${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$ ③ 合計。 $${\int }_0^2|x^2-1|dx=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$

まとめ $x=1$ で分け、${\int }_0^1(1-x^2)+{\int }_1^2(x^2-1)=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$。積分(絶対値)と場合分けの融合。符号の変わり目で区間を割る。

発展 — 一歩先へ。 「全体の積分 $-2\times$(負の部分)」は、$\int |f|=\int f-2{\int }_{f<0}f$ と書ける一般公式。符号の変わる点が複数あっても、負の区間ごとにこの補正を足すだけでよい。絶対値のグラフを $x$ 軸で折り返す操作を、積分の言葉に翻訳したものである。

別解

別解 — 「符号なし積分」から負の分を2回引く(得意な人向けの高い視点)。 絶対値なしの積分をまず出す。

$${\int }_0^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_0^2=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}.$$

このうち、$x^2-1$ が負になる区間 $[0,1]$ の寄与は ${\int }_0^1(x^2-1)dx=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$。絶対値をつけると、この負の分は符号を反転して足し直す=もとの積分から「負の分の $2$ 倍」を引けばよい。

$${\int }_0^2|x^2-1|dx=\frac{2}{3}-2\times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$

「全体の積分 $-2\times$(負の部分)」は、絶対値積分の便利な公式だ。符号が変わる点を1つずつ場合分けする(本解)のと同じ答えに、少ない計算で着ける。