絶対値を含む定積分の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値つきの積分は、中身の符号が変わる場所で区間を割る。$x^2-ax=x(x-a)$ の符号は $x=a$ で変わる。$0\le a\le 2$ だから、その折れ目はちょうど積分区間の内側にある。

$[0,a]$ では中身が負なのでマイナスを付けてはずし、$[a,2]$ では正のままはずす。積分を実行すると、値は $a$ の3次式 $F(a)$ になる。

あとは $F(a)$ を微分して、$0\le a\le 2$ での最小を探すだけだ。

① 絶対値をはずす。 $\int (x^2-ax)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^2}{2}$ を使う。

$${\int }_0^2|x^2-ax|dx=-{\int }_0^a(x^2-ax)dx+{\int }_a^2(x^2-ax)dx$$

$-{\int }_0^a(x^2-ax)dx=\frac{a^3}{6}$、${\int }_a^2(x^2-ax)dx=\left(\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}$。

② $a$ の関数にまとめる。

$$F(a)=\frac{a^3}{6}+\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$$

③ 微分して最小。 $F^{\prime }(a)=a^2-2=0⟺a=\sqrt{2}$($0\le a\le 2$ に適する)。$F^{\prime }$ は $a=\sqrt{2}$ の前後で負→正だから、$a=\sqrt{2}$ で最小。

まとめ:絶対値は $x=a$ で符号が変わるので $[0,a]$ と $[a,2]$ に分けてはずす。積分結果 $F(a)=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$ を微分して $a=\sqrt{2}$。定積分(絶対値)と最大最小(微分)の融合。

発展 — 一歩先へ。 最小の条件 $F^{\prime }(a)=a^2-2=0$ は、${\int }_0^{a}xdx={\int }_a^{2}xdx$(左は $\frac{a^2}{2}$、右は $2-\frac{a^2}{2}$)と書き直せる。$a$ をわずかに動かすと左の区間の面積が増え、右の区間の面積が減る。その増減の「重み」がつり合う点が最小、という釣り合いの構造だ。$a=\sqrt{2}$ は、重み $x$ で測ったときに区間 $[0,2]$ をちょうど半分に割る点になっている。

別解

符号つき積分+へこみの2倍(場合分けを1回に圧縮)。 絶対値の積分は、次の帳簿の付け方で「ふつうの積分」に直せる:

$${\int }_0^2|g(x)|dx={\int }_0^{2}g(x)dx+2{\int }_{(g<0\text{ の区間})}(-g(x))dx$$

(負の部分は、符号つき積分ではマイナス、絶対値ではプラスに数えられる。その差はちょうど2倍。)

本問で $g(x)=x^2-ax$ が負なのは $[0,a]$ だけ。符号つき積分は場合分け不要で

$${\int }_0^2(x^2-ax)dx=\frac{8}{3}-2a$$

へこみの分は ${\int }_0^a(ax-x^2)dx=\frac{a^3}{6}$。合わせて

$$F(a)=\frac{8}{3}-2a+2\cdot \frac{a^3}{6}=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$$

本解と同じ式に、たった2つの積分で着いた。「絶対値=符号つき+へこみの2倍」は、場合分けの数を確実に減らしてくれる。