上に凸な放物線と直線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線が上に凸($x^2$ の係数が負)に変わったが、やることは同じだ。交点を求め、$\frac{1}{6}$ 公式に入れる。

公式の一般形は $S=\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$。凸の向きは係数の絶対値が吸収してくれる。

交点は $-x^2+4=x+2$ から $x=-2,1$。今回は放物線が上、直線が下だ。どちらが上かは、区間内の $1$ 点(たとえば $x=0$)で値を比べれば確かめられる。

① 交点を求める。 $-x^2+4=x+2$ より $x^2+x-2=0$、$(x+2)(x-1)=0$、$x=-2,1$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数は $-1$ なので $|a|=1$、$\beta -\alpha =1-(-2)=3$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 3^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

まとめ:上に凸の放物線でも $\frac{1}{6}$ 公式は使える。係数の絶対値 $|a|$ を使うのがコツ。放物線が上か下かは面積の値には効かない($\beta -\alpha$ の差だけで決まる)。

発展 — 一歩先へ。 「面積は $|a|$ と幅だけで決まる」を逆手に取ると、設計の問題が解ける。たとえば「$y=-x^2+c$ と $y=x$ の囲む面積が $36$ になる $c$」のような逆算は、公式を $(\beta -\alpha {)}^3=216$ と読み替えて幅 $6$ を作る条件に翻訳すればよい。

また、直線を平行移動して放物線に接する極限では幅 $\to 0$、面積 $\to 0$。$\frac{1}{6}$ 公式は接する瞬間まで連続的に正しい。「接線とのすき間の面積」を扱う応用問題は、この極限の一歩手前を見ている。

別解

この答え $\frac{9}{2}$、実は下に凸の基本問題($y=x^2$ と $y=x+2$)とまったく同じ値だ。偶然だろうか。

差関数を見比べると種が割れる。

• 下に凸の問題: 差 $=(x+2)-x^2=-(x^2-x-2)$、交点 $x=-1,2$、幅 $3$
• 今回: 差 $=(-x^2+4)-(x+2)=-(x^2+x-2)$、交点 $x=-2,1$、幅 $3$

$2$ 次の係数の大きさが同じ($|a|=1$)で、交点の幅も同じ($\beta -\alpha =3$)。$\frac{1}{6}$ 公式は面積を $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ と言っているから、この $2$ つの数字が同じなら、見た目がどう違っても面積は同じになる。

$$S=\frac{1\cdot 3^3}{6}=\frac{9}{2}$$

凸の向き・頂点の位置・直線の傾き — 図の印象を決める要素のほとんどは、面積に影響しない。効くのは「差関数の曲がり具合と交点の幅」だけ。公式が図形の本質を $2$ つの数に圧縮している。