放物線と直線で囲む面積(1/6公式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線と直線で囲む面積。まず「どこからどこまで」を決める。$2$ 曲線の交点を求める。

$x^2-2x=x$ から $x^2-3x=0$、交点は $x=0,3$。

面積は(上の関数)$-$(下の関数)の積分。この区間では直線 $y=x$ が上、放物線が下。

放物線と直線で囲む面積には $\frac{1}{6}$ 公式が使える。$\frac{1}{6}|a|(\beta -\alpha {)}^3$($a$ は $x^2$ の係数、$\alpha ,\beta$ は交点)で一気に出せる。

① 交点を求める。 $x^2-2x=x$ より $x^2-3x=0$、$x(x-3)=0$、$x=0,3$。区間 $[0,3]$ で直線 $y=x$ が放物線より上(例:$x=1$ で直線 $1$、放物線 $-1$)。

② 面積を $1/6$ 公式で。 上 $-$ 下 $=x-(x^2-2x)=-x^2+3x=-(x-0)(x-3)$。よって

$$S={\int }_0^3\{x-(x^2-2x)\}dx=\frac{|-1|}{6}(3-0{)}^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

まとめ:放物線と直線で囲む面積は「交点を出して $1/6$ 公式」。被積分関数が $-(x-\alpha )(x-\beta )$ になり、$\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ で計算不要。$x^2$ の係数の絶対値 $|a|=1$、区間幅 $\beta -\alpha =3$ で $\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{6}$ 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ は、放物線と直線で囲む面積が「交点の間隔の $3$ 乗」だけで決まることを表す。$2$ 次係数が $a$ なら $\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$。同じ精神で $3$ 次と接線は $4$ 乗$÷12$、と次数が上がるほど指数も上がる面積公式の系列がある。

別解

別解 — $\frac{1}{6}$ 公式を使わず素直に積分(苦手な人向けの基本ルート)。 $\frac{1}{6}$ 公式を覚えていなくても、面積の定義どおり(上)$-$(下)を積分すれば出る。

区間 $0\le x\le 3$ で上は直線 $y=x$、下は放物線 $y=x^2-2x$。差は

$$x-(x^2-2x)=3x-x^2.$$

これを $0$ から $3$ まで積分する。

$${\int }_0^3(3x-x^2)dx={\left[\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$$

$\frac{1}{6}$ 公式で一気に出す本解と同じ $\frac{9}{2}$。じつは $\frac{1}{6}$ 公式は、この ${\int }_{\alpha }^{\beta }(3x-x^2)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }\{-(x-\alpha )(x-\beta )\}dx$ を一般に計算した結果。公式が不安なら、素直な積分に戻れば必ず確かめられる。