数学II / 積分の考え

放物線と直線が囲む面積の最小

最難関編面積最大最小

問題

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = m x + 1$ で囲まれる部分の面積を $S (m)$ とする。 $S (m)$ を最小にする $m$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

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放物線と直線で囲む面積は $\frac{1}{6} (β - α)^{3}$ 。 $β - α$ を解と係数の関係で $m$ の式にすると、最小の $m$ が見える。

解答・解説

方針

交点を $α, β$ とすると面積は $\frac{1}{6} (β - α)^{3}$ ( $\frac{1}{6}$ 公式)。 $β - α = m^{2} + 4$ を最小にする。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線と直線が囲む面積には、専用の近道がある。交点の $x$ 座標を $α, β$ とすると、面積は $\frac{1}{6} (β - α)^{3}$ 。図形の情報が、交点の幅 $β - α$ だけに凝縮される。

だから積分を実行する必要はない。 $β - α$ を $m$ の式で表して、それを最小化すればよい。

$β - α$ は、解と係数の関係から $(α + β)^{2} - 4 α β$ で出せる。

公式放物線と直線が

x = α, β

(

α < β

)で交わるとき、囲む面積

S = \frac{1}{6} (β - α)^{3}

① 交点と面積。 $x^{2} = m x + 1$ 、すなわち $x^{2} - m x - 1 = 0$ 。解 $α, β$ は解と係数の関係で $α + β = m, α β = - 1$ 。

$β - α = (α + β)^{2} - 4 α β = m^{2} + 4$

よって $S (m) = \frac{1}{6} (m^{2} + 4)^{3/2}$ 。

② 最小化。 $(m^{2} + 4)^{3/2}$ は $m^{2}$ の増加関数だから、 $m^{2} = 0$ 、すなわち $m = 0$ で最小。

$S (0) = \frac{1}{6} \cdot 4^{3/2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

y=x² と y=mx+1 が囲む面積 S(m)=(m²+4)^{3/2}/6。m=0(直線 y=1)で最小 4/3

まとめ: $\frac{1}{6}$ 公式で面積を $(β - α)^{3}$ に置き換え、 $β - α = m^{2} + 4$ を最小化。判別式(= $β - α$ の中身)が最小になる $m = 0$ が答え。積分を実行せずに済むのが急所。

発展 — 一歩先へ。 直線の族 $y = m x + 1$ は、 $m$ によらず定点 $(0, 1)$ を通る(定点を軸に回る弦)。最小の $m = 0$ のとき、弦の両端は $(\pm 1, 1)$ で、定点がちょうど弦の中点になっている。実は一般に、放物線 $y = x^{2}$ を点 $(c, d)$ を通る弦で切るとき、 $(β - α)^{2} = m^{2} - 4 m c + 4 d$ は $m = 2 c$ で最小になり、そのとき弦の中点の $x$ 座標 $\frac{α + β}{2} = \frac{m}{2} = c$ が定点と一致する。「面積最小の弦は、定点を中点にもつ」— 覚えておくと初手が速くなる描像だ。

答

$m = 0$ 、最小値 $\frac{4}{3}$

別解

対称性で先に当てる(計算前の1秒)。 放物線 $y = x^{2}$ は $y$ 軸対称で、直線の族 $y = m x + 1$ は $m$ と $- m$ が鏡映のペアになっている。だから囲む面積も

$S (m) = S (- m)$

つまり $S$ は $m$ の偶関数だ。最小は対称の中心 $m = 0$ で起きるのがもっとも自然、と計算の前に見当がつく。

あとは $S$ が $∣ m ∣$ とともに増えることを確かめれば確定する。実際 $S (m) = \frac{1}{6} (m^{2} + 4)^{3/2}$ は $m^{2}$ の増加関数だから、 $m = 0$ で最小 $\frac{4}{3}$ 。

「パラメータを取り替えても問題が変わらないなら、答えは対称の中心にある」。この目付けは、最大最小の問題全般で最初の1秒に使える。

ポイント

面積 $= \frac{1}{6} (β - α)^{3}$ 。
$β - α = m^{2} + 4$ 最小は $m = 0$ 、 $S = \frac{4}{3}$ 。

よくある間違い

$\frac{1}{6}$ 公式の前提(2次の係数が $1$ )を確認せずに使う。係数が $a$ なら面積は $\frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3}$ 。
$β - α$ を解の公式で個別に求めて消耗する。 $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ で一撃。
$(m^{2} + 4)^{3/2}$ を微分して最小化しようとして複雑にする。「 $m^{2}$ の増加関数だから $m = 0$ 」と読むだけでよい。