面積を2等分する直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2等分」の問題は、(全体の面積)と(片方の面積)の2つを式にして、半分の関係でつなぐ。

全体は、放物線と $x$ 軸の囲む $\frac{4}{3}$。直線 $y=mx$ が切り取る上側(放物線と直線のあいだ)は、交点が $x=0$ と $2-m$ だから、$\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}(2-m{)}^3$ と書ける。

これが全体の半分 $\frac{2}{3}$ に等しい、という方程式を解けば $m$ が出る。

① 全体の面積。 ${\int }_0^2(2x-x^2)dx=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。

② 直線が切り取る面積。 $2x-x^2=mx$、すなわち $x^2-(2-m)x=0$ より交点は $x=0,2-m$。囲む部分の面積は($\frac{1}{6}$ 公式、上=放物線・下=直線)

$${\int }_0^{2-m}\{(2x-x^2)-mx\}dx=\frac{1}{6}(2-m{)}^3$$

③ 半分とおく。 これが全体 $\frac{4}{3}$ の半分 $\frac{2}{3}$ に等しい:

$$\frac{1}{6}(2-m{)}^3=\frac{2}{3}⟺(2-m{)}^3=4⟺2-m=\sqrt[3]{4}$$

よって $m=2-\sqrt[3]{4}$($0<m<2$ に適する)。

まとめ:$\frac{1}{6}$ 公式で"直線が切り取る側"の面積を $(2-m{)}^3$ に落とし、全体 $\frac{4}{3}$ の半分 $\frac{2}{3}$ とおく。$(2-m{)}^3=4$ から $m=2-\sqrt[3]{4}$。立方根が出るのが特徴。

発展 — 一歩先へ。 切り取る側と全体の面積比は ${\left(\frac{2-m}{2}\right)}^3$、つまり交点の幅の比の3乗。面積を半分にしたければ幅の比を ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/3}$ にすればよく、$2-m=2\cdot 2^{-1/3}=\sqrt[3]{4}$ が即座に出る。放物線と直線の囲む面積が幅の3乗で伸び縮みする、というこの3乗則こそ、$\frac{1}{6}$ 公式の心臓部だ。

別解

公式を使わず、原始関数で押し切る(公式を忘れても死なない)。 $\frac{1}{6}$ 公式を忘れても、切り取る側の面積は素直に積分できる。

$${\int }_0^{2-m}\{(2x-x^2)-mx\}dx={\int }_0^{2-m}\{(2-m)x-x^2\}dx={\left[\frac{(2-m)x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{2-m}$$

幅を $w=2-m$ とおくと、値は $\frac{w^3}{2}-\frac{w^3}{3}=\frac{w^3}{6}$。$\frac{1}{6}$ 公式がその場で再現された。

あとは本解と同じく $\frac{w^3}{6}=\frac{2}{3}$ から $w^3=4$、$m=2-\sqrt[3]{4}$。

検算も添える。$m\to 0$ なら $w=2$ で切り取る側は $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$(全体と一致)。$m\to 2$ なら $w\to 0$ で $0$。式が両端で正しく振る舞うことまで見ておくと、答案の信頼度が上がる。