数学II / 積分の考え
条件から関数を決める
問題
かつ を満たす関数 を求めよ。
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が分かっているので、まず不定積分で候補をぜんぶ書く(定数が残る)。条件 が、その定数を つに決めてくれる。
解答・解説
方針
まず を積分して の形にする。次に を代入して を決める。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 段階で考える。
手順1: とりあえず積分する。 積分定数 をつけて。
この時点では、 が決まっていない。 答えの候補が無数にある。
手順2: 条件 を使って、 を決める。
これが に等しい。
「積分して、条件で を決める」 — この 段階が、初期条件つき積分の型だ。
検算: ✓、 ✓ — つとも確かめる。
① 積分して一般形を出す。
② 条件で を決める。 を代入。
よって
まとめ:「導関数と 点の値」が分かれば関数が決まる。積分で 付きの形を出し、点の条件で を確定する 段構えだ。
発展 — 一歩先へ。 「導関数と初期条件から、もとの関数を復元する」— これは微分方程式の最も簡単な例である。
この形の問題を「初期値問題」という。
そして、微分方程式こそが、科学の言語である。
物理:
「力が分かれば、加速度が分かる。 回積分すれば、位置が分かる。」
初期条件(初期位置と初速度)を与えれば、 — これが古典力学の決定論だ。
ラプラスは、こう言った( 年)。
「宇宙のすべての原子の位置と速度を知る知性があれば、その知性にとって未来は過去と同じように明らかであろう。」
「ラプラスの悪魔」 と呼ばれるこの思想は、微分方程式と初期条件が未来を決定する、という信念に基づいていた。
しかし、 世紀にこの信念は 度、揺らいだ。
度目: 量子力学( 年代)。 粒子の位置と速度を、同時に正確には決められない(不確定性原理)。初期条件が、原理的に確定できない。
度目: カオス理論( 年代)。 初期条件のごくわずかな違いが、時間とともに指数的に拡大する。「北京で蝶が羽ばたくと、ニューヨークで嵐が起きる」(バタフライ効果)。天気予報が 週間先までしかできないのは、このためだ。
微分方程式は決定論的なのに、実際には予測できない。 これは矛盾ではない — 「決定されている」ことと「予測できる」ことは、別物なのだ。
、 という素朴な初期値問題。 その先には、宇宙の予測可能性という、 年にわたる問いが横たわっている。
別解
この問題を、グラフで見よう。 「無数の候補から、 つを選ぶ」という構造が、目に見える形になる。
が表すのは、 本の曲線ではない。
放物線の"群れ"だ。
同じ形の放物線が、縦にずらりと並んでいる(縦に平行移動しただけ)。
この"曲線の族"を、曲線族という。
どの放物線も、同じ性質を持っている。
- での傾きは、どれも ()
- での傾きは、どれも
傾きの情報()だけでは、どの放物線かを特定できない — どれも条件を満たすからだ。
そこで、条件 が効く。
「点 を通る」という条件だ。
無数の放物線のうち、点 を通るものは、ただ 本。
「曲線の群れから、 本を釣り上げる」 — それが初期条件の役割である。
この構造は、物理でそのまま現れる。
「速度が の物体の、位置 は?」
は「初期位置」だ。 どこから出発したかによって、位置は変わる。
「時刻 で、位置 にいた」という情報があれば、 と決まる。
「速度だけでは、位置は決まらない。出発点が要る。」 — 当たり前だが、これが積分定数の物理的な意味だ。
さらに 階微分になると、条件が つ必要になる。
「加速度が (重力)の物体の運動は?」
積分定数が つ現れる — だから初速度と初期位置の つを知らないと、ボールがどこに落ちるか計算できない。
「 回積分すれば、 個の定数が現れる」 — そして、それを決めるには 個の条件が必要だ。
微分方程式を解くとは、この構造を扱うことである。 数IIIで、その本格的な理論が始まる。
ポイント
- 積分 → 付きの一般形。
- 条件を代入して を決める。
よくある間違い
- 積分定数 を置かずに としてしまい、条件が使えなくなる
- の条件を使い忘れて、 を決めずに答えてしまう
- に でなく別の値を代入してしまう