数学II / 積分の考え

放物線と直線で囲む面積の最小

実戦編積分面積最小6分の1公式単元横断

問題

直線 $y = m x + 1$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれる部分の面積 $S (m)$ を最小にする $m$ と、その最小値を求めよ。

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交点は $x^{2} - m x - 1 = 0$ 。 $β - α = (α + β)^{2} - 4 α β = m^{2} + 4$ 。面積は $1/6$ 公式で $\frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ 。

解答・解説

方針

交点の $x$ 座標の差を判別式(解と係数)で $m^{2} + 4$ と出し、 $1/6$ 公式で面積を $m$ の関数にする。 $m^{2} + 4$ の最小( $m = 0$ )で面積が最小。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積 $S (m)$ をまともに積分してから $m$ で微分するのは重い。1/6公式を使えば、面積は交点の $x$ 座標の差だけで書ける。

交点は $x^{2} - m x - 1 = 0$ の2解。差 $β - α$ は判別式から $m^{2} + 4$ 。

すると $S = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6}$ 。あとは中身 $m^{2} + 4$ が最小になる $m = 0$ を選ぶだけ。積分計算はほぼ消える。

公式

1/6

公式

S = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}

。

β - α = (α + β)^{2} - 4 α β

① 交点の差。 交点は $x^{2} = m x + 1 \Rightarrow x^{2} - m x - 1 = 0$ 。解と係数より $α + β = m, α β = - 1$ 。 $β - α = (α + β)^{2} - 4 α β = m^{2} + 4 .$ ② 面積。 $1/6$ 公式で $S (m) = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6} .$ ③ 最小。 $m^{2} + 4$ は $m = 0$ で最小値 $4$ 。 $S$ は増加関数を通すので $m = 0$ で最小 $S (0) = \frac{4 ^{3/2}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$

y=x² と y=mx+1 で囲む面積。m=0(直線 y=1)のとき最小 4/3。

まとめ $β - α = m^{2} + 4$ 、 $S = \frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6}$ 、 $m = 0$ で最小 $\frac{4}{3}$ 。面積( $1/6$ 公式)と最大最小の融合。

発展 — 一歩先へ。 定点 $(0, 1)$ を通る直線の族で面積最小が「水平」なのは、放物線の軸に垂直な弦が最短になるからだ。もし定点を放物線の内側の別の点に変えても、最小を与えるのはやはり軸に垂直な弦。せん断で面積が不変(判別式が不変)という見方が、この一般化を一言で片づける。

答

交点は $x^{2} = m x + 1$ 、すなわち $x^{2} - m x - 1 = 0$ 。 $2$ 解 $α, β$ で $β - α = m^{2} + 4$ 。 $1/6$ 公式より $S = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6}$ 。 $m^{2} + 4$ は $m = 0$ で最小 $4$ 、 $S$ 最小 $= \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ 。

別解

別解 — 平行四辺形のせん断で「面積は放物線と弦の距離だけで決まる」(得意な人向けの高い視点)。 座標を $y \to y - m x$ とずらす(水平方向のせん断)。図形を横に滑らせる変換で、面積は変わらない。

このずらしで、放物線 $y = x^{2}$ は $y = x^{2} - m x$ に、直線 $y = m x + 1$ は $y = 1$ (水平線)に写る。つまりどんな $m$ でも、囲む面積は「ある放物線と水平線 $y = 1$ の間」の面積に等しい。

放物線 $y = x^{2} - m x$ と $y = 1$ の交点差は $m^{2} + 4$ で、1/6公式から面積は $\frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6}$ 。せん断しても $m^{2} + 4$ (判別式)は変わらないから、これは本解と同じ式だ。

面積が最小なのは、放物線の谷と水平線の“へだたり”が最も小さいとき=直線が放物線の軸に垂直、つまり $m = 0$ 。最小値 $\frac{4 ^{3/2}}{6} = \frac{4}{3}$ 。「傾けても面積は同じ、大事なのは判別式」という不変量の見方である。

ポイント

交点の差 $β - α = m^{2} + 4$ (判別式)。
$1/6$ 公式で $S = \frac{( m ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{6}$ 。
$m = 0$ で最小 $\frac{4}{3}$ 。

よくある間違い

面積を定積分で書いてから $m$ で微分し、計算が重くなる(1/6公式で $m$ の関数にするのが速い)。
$(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = m^{2} + 4$ の判別式計算で符号を誤る。
$(m^{2} + 4)^{3/2}$ が最小 $⟺ m^{2} + 4$ が最小、の同値(単調増加だから)を言わずに $m = 0$ を出す。