放物線と x 軸で囲む面積(6分の1公式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$x$ 軸と囲む」は「直線 $y=0$ と囲む」と読み替えられる。$x$ 軸も直線の一種 — そう見た瞬間、$\frac{1}{6}$ 公式がそのまま使える。

交点は $x^2-2x=0$ から $x=0,2$。

もうひとつだけ確認。区間 $[0,2]$ で放物線は $x$ 軸の下にある(下に凸で両端が根だから、間では負)。面積にするには「上($y=0$)$-$ 下(放物線)」の向きで立式する。公式なら $|a|=1$、幅 $2$ で即答できる。

① 交点を求める。 $x^2-2x=0$ より $x(x-2)=0$、$x=0,2$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x$ 軸を直線 $y=0$ とみる。$|a|=1$、$\beta -\alpha =2-0=2$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 2^3}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

③ なぜ $x$ 軸の下でも正の面積が出るのか。 この区間では放物線は $x$ 軸の下にあり、ふつうに ${\int }_0^2(x^2-2x)dx$ を計算すると $-\frac{4}{3}$ と負になる(向きの符号)。しかし $\frac{1}{6}$ 公式は係数に絶対値 $|a|$ がついているので、この符号を吸収して面積の大きさ $\frac{4}{3}$ をそのまま返す。だから上下を気にせず使える。

まとめ:「放物線と $x$ 軸」は「放物線と直線 $y=0$」と同じ。$\frac{1}{6}$ 公式は $|a|$ のおかげで、曲線が $x$ 軸の上でも下でも面積の大きさを正で返す。交点の差 $\beta -\alpha =2$ を3乗して6で割るだけだ。

発展 — 一歩先へ。 別解の平行移動は「積分の置換」の最も簡単な形だ。図形を動かしても面積が変わらないことを、式の上では $X=x-1$ という変数の付け替えが保証している。数IIIの置換積分では、この「付け替え」が伸び縮みまで含む形に一般化される。

また、$x$ 軸との囲みは「$2$ つの根の間で符号が一定」という特別な状況でもある。根が $3$ つ以上ある高次式や、区間の途中で軸をまたぐ場合は、符号ごとに区間を割る — 絶対値の積分と同じ用心がそのまま面積問題の用心になる。

別解

グラフを動かしてから積分する、という手もある。

$y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ の頂点は $(1,-1)$。グラフ全体を左へ $1$ ずらして、頂点を $y$ 軸の上に載せる($X=x-1$ とおく)。式は

$$y=X^2-1$$

$x$ 軸との交点は $X=\pm 1$。左右対称になったから、面積は

$$S={\int }_{-1}^1(1-X^2)dX=2{\int }_0^1(1-X^2)dX=2\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$$

平行移動しても面積は変わらない。軸対称の位置へ動かしてから積分すると、偶関数の対称性($2{\int }_0^1$)が使えて計算が軽くなる — 頂点の座標がきれいな放物線の面積では、いつでも仕込める小技だ。