曲線と x 軸で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「曲線と $x$ 軸で囲まれた面積」— 定積分そのものである。

ただし、$1$ つ確認すること。

区間 $0\leqq x\leqq 3$ で、$y=x^2\geqq 0$($x$ 軸の上にある)。

上にあるなら、定積分がそのまま面積になる。

$$S={\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

面積は $9$。

もし曲線が $x$ 軸の下にあれば、定積分は負になり、面積とは符号が違ってしまう — だから、上にあるか下にあるかを必ず確認する。

面積の問題は、$3$ 段階。 ①グラフを描く → ②上下を確認する → ③積分する。グラフを描かずに積分すると、必ず事故る。

① 位置関係を確かめる。 $0\leqq x\leqq 3$ で $y=x^2\geqq 0$。曲線は $x$ 軸の上にある。

② 面積を定積分で計算する。

$$\text{面積}={\int }_0^3{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

まとめ:面積を積分で出すときは、まず「曲線が $x$ 軸の上か下か」を確認する。上にあるなら面積 = 定積分そのもの。下にある場合は $3$ 番以降で扱う。

発展 — 一歩先へ。 アルキメデスが「取り尽くし法」で放物線の面積を求めたのは、紀元前 $3$ 世紀。微積分の発明($17$ 世紀)の、$1900$ 年前である。

彼の方法は、どんなものだったか。

放物線と弦で囲まれた図形に、三角形を敷き詰めていく。

1. まず、大きな三角形を $1$ つ入れる(面積 $T$ とする)
2. 残った隙間に、小さな三角形を $2$ つ入れる(合計 $\frac{T}{4}$)
3. さらに残った隙間に、$4$ つ入れる(合計 $\frac{T}{16}$)
4. これを無限に繰り返す

面積の合計は

$$T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\frac{T}{64}+\cdots =T\times \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}T$$

無限等比級数!

アルキメデスは、無限級数の和を(極限の概念なしに)厳密に扱い、正しい答えを得た。

彼の議論は、現代の目から見ても完璧である。 ただし、彼は「無限」という言葉を注意深く避け、「どんなに小さな差も、有限回の操作で下回れる」という形で論じた(取り尽くし法)。

なぜ、そこまで慎重だったのか。 当時のギリシャ数学は、「無限」を扱う論理を持っていなかったからだ。ゼノンのパラドックス(アキレスと亀)が、無限の危険性を突きつけていた。

アルキメデスは、あと一歩で微積分に到達していた。

しかし、彼には「一般的な手続き」がなかった。 放物線の面積は求められたが、それは放物線専用の職人芸だった。別の曲線には、別の工夫が必要だった。

ニュートンとライプニッツが与えたのは、「どんな曲線にも通用する、機械的な手続き」である。

$${\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=9$$

アルキメデスが何ページも費やした計算が、$1$ 行になった。

天才の職人芸を、誰でも使える道具に変える — それが数学の進歩の形なのだ。

そしてアルキメデスは、自分の墓碑に「球と円柱」の図を刻むよう遺言した。 球の体積が、外接する円柱の $\frac{2}{3}$ であることを発見した誇りである。

$\frac{1}{3}$ の法則も、$\frac{2}{3}$ の法則も、彼の遺産だ。 そして今、あなたはそれを $1$ 行で計算している。

別解

この面積 $9$ には、美しい意味がある。$2200$ 年前、アルキメデスが発見した「$\frac{1}{3}$ の法則」だ。

囲む長方形と比べる。

区間 $[0,3]$ で、$y=x^2$ の下の面積を求めた。 この放物線を、長方形で囲んでみよう。

• 横: $3$($x=0$ から $3$ まで)
• 縦: $9$($x=3$ での高さ $3^2=9$)

長方形の面積は $3\times 9=27$。

放物線の下の面積は $9$。

$$\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$

$$\boxed{\text{放物線の下の面積は、囲む長方形の}\frac{1}{3}}$$

驚くほどきれいだ。

これは偶然ではない。一般に

$${\int }_0^a{x}^{2}dx=\frac{a^3}{3}=\frac{1}{3}\times a\times a^2=\frac{1}{3}\times (\text{横})\times (\text{縦})$$

放物線の下は、必ず長方形の $\frac{1}{3}$。

アルキメデスは、この事実を微積分なしで証明した(取り尽くし法という、極限の先駆的な方法で)。紀元前 $3$ 世紀のことである。

さらに一般化すると

$${\int }_0^a{x}^{n}dx=\frac{a^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}\times (\text{横})\times (\text{縦})$$

$n$ が大きいほど、曲線は"床に張りついて"から急上昇するので、下の面積は小さくなる — 表と一致する。

$y=x$ で $\frac{1}{2}$ になるのは、三角形の面積公式そのもの ✓ — 小学校の知識と、積分がつながった。

この「$\frac{1}{n+1}$ の法則」を知っていると、検算が一瞬でできる。

$${\int }_0^3{x}^{2}dx\stackrel{?}{=}9$$

長方形($3\times 9=27$)の $\frac{1}{3}$ は $9$ ✓ 合っている。

逆に、答えが $27$ や $3$ になったら、明らかにおかしい — 図形的な感覚が、計算ミスを検出する。

「答えの大きさが、図と合っているか」 — 積分の計算では、この確認が命綱になる。

放物線の下は、長方形の $\frac{1}{3}$。 この事実を体に染み込ませておけば、面積の問題で大きく外すことはない。