数学II / 積分の考え

二項係数の和を積分で求める

最難関編定積分二項定理

問題

$n$ を自然数とする。 $k = 0 \sum n \frac{1}{k + 1} (k n)$ を求めよ。ここで $(k n)$ は二項係数 $_{n} C_{k}$ である。

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$\frac{1}{k + 1}$ を積分で表せないか( $\int_{0}^{1} x^{k} d x = \frac{1}{k + 1}$ )。すると和が $\int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x$ にまとまる(二項定理の逆)。

解答・解説

方針

$\frac{1}{k + 1} = \int_{0}^{1} x^{k} d x$ に気づく。 $\sum (k n) \int_{0}^{1} x^{k} d x = \int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和の各項に付く $\frac{1}{k + 1}$ という因子が扱いにくい。ここで $\int_{0}^{1} x^{k} d x = \frac{1}{k + 1}$ を思い出せるかが、すべてだ。

分数を積分に置き換えると、和は $\sum (k n) \int_{0}^{1} x^{k} d x$ 。有限個の和だから積分と順序を入れ替えてよく、 $\int_{0}^{1} (\sum (k n) x^{k}) d x$ になる。

中身の和は二項定理そのもので $(1 + x)^{n}$ 。ばらばらだった $n + 1$ 個の分数が、1本の積分に束ねられた。

公式

\int_{0}^{1} x^{k} d x = \frac{1}{k + 1}

、二項定理

\sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{k} = (1 + x)^{n}

① 積分に置き換える。

$k = 0 \sum n \frac{1}{k + 1} (k n) = k = 0 \sum n (k n) \int_{0}^{1} x^{k} d x = \int_{0}^{1} k = 0 \sum n (k n) x^{k} d x = \int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x$

② 積分を計算する。

$\int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x = [\frac{( 1 + x ) ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = \frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1}$

まとめ: $\frac{1}{k + 1} = \int_{0}^{1} x^{k} d x$ に気づくと、和が二項定理で $\int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x$ に一本化される。定積分と二項定理の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ手を符号交互の和に使うと $k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1} (k n) = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ 。符号を変えただけで答えは劇的に単純になる。 $\frac{1}{k + 1}$ の付いた二項係数の和を見たら、「積分で束ねる」か「添字をずらして1段上の二項係数にする」— この2枚看板でほとんどが落ちる。

答

$\frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1}$

別解

二項係数の恒等式で(積分を使わない)。 $\frac{1}{k + 1} (k n)$ という組は、二項係数の世界の中だけで書き換えられる:

$\frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{1}{n + 1} (k + 1 n + 1)$

(理由: $(k + 1) (k + 1 n + 1) = (n + 1) (k n)$ 。パスカルの三角形の1段上との関係だ。)これで和は

$k = 0 \sum n \frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n (k + 1 n + 1) = \frac{1}{n + 1} {(1 n + 1) + (2 n + 1) + \dots + (n + 1 n + 1)}$

かっこの中は、 $n + 1$ 段目の二項係数の総和 $2^{n + 1}$ から先頭の $(0 n + 1) = 1$ を除いたもの。よって

$k = 0 \sum n \frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1}$

積分ルート(本解)は $\frac{1}{k + 1}$ を「積分の値」と読み、恒等式ルートは「1段上の二項係数」と読む。同じ分数の、2つの正体だ。

ポイント

$\frac{1}{k + 1} = \int_{0}^{1} x^{k} d x$ 。
和が $\int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x = \frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1}$ 。

よくある間違い

$(1 n + 1) + \dots + (n + 1 n + 1)$ を $2^{n + 1}$ のままにして、先頭 $(0 n + 1) = 1$ を引き忘れる。
$\int_{0}^{1} (1 + x)^{n} d x$ の原始関数で $\frac{1}{n + 1}$ を掛け忘れる。
和と積分の入れ替えをためらって手が止まる。有限個の和なら、積分の線形性そのもので常に正当。