数学II / 積分の考え

不定積分

★ 基礎不定積分

問題

不定積分 $\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$ を求めよ。

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微分の逆をたどる。『微分するとこの式になる』関数を項ごとに探そう。不定積分ならではの、最後に付け足すものを忘れずに。

解答・解説

方針

積分は微分の逆。 $x^{n}$ は「指数を $1$ 増やして、その数で割る」。各項を別々に積分し、最後に積分定数 $C$ を必ず付ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分は、微分の逆である。

$\int f (x) d x = F (x) + C ⟺ F^{'} (x) = f (x)$

「微分すると $f (x)$ になる関数は何か?」 — これを探すのが積分だ。

公式は、微分の公式を逆に読む。

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$

「指数を $1$ 増やして、その数で割る」 — 微分( $n$ を前に出して、 $1$ 減らす)の、ちょうど逆だ。

項ごとに計算する。

$\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$

$\int (- 2 x) d x = - 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - x^{2}$

$\int 1 d x = x$

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = x^{3} - x^{2} + x + C$

積分定数 $C$ を忘れない。 これを書かないと、減点される。

公式

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

(

n \neq = - 1

)。微分の逆で「指数を

1

増やしてその数で割る」

各項を積分する。

$\int 3 x^{2} d x = x^{3}, \int (- 2 x) d x = - x^{2}, \int 1 d x = x$

まとめて、積分定数 $C$ を付ける。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = x^{3} - x^{2} + x + C$

まとめ:積分は微分の逆。指数を $1$ 上げてその数で割る。 $+ C$ を付けるのが不定積分の約束だ。微分して元に戻るか確かめると安心。

発展 — 一歩先へ。 微分と積分は「逆の操作」だが、難しさが対称ではない。

微分は、機械的にできる。

$どんな初等関数も、必ず微分できる$

$x^{3} sin x \cdot e^{x^{2}}$ のような複雑な関数でも、積の微分・合成関数の微分を組み合わせれば、必ず答えが出る。

積分は、そうはいかない。

$\int e^{- x^{2}} d x = ?$

この積分は、初等関数では表せない。( $sin$ 、 $cos$ 、 $lo g$ 、多項式、指数関数などをいくら組み合わせても書けないことが、証明されている。)

ガウス積分と呼ばれるこの関数は、統計学の正規分布そのものだ。答えが"書けない"のに、面積は計算できる(定積分なら $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ という美しい値になる)。

微分は"必ずできる"、積分は"できないことがある" — この非対称性は、深い。

理由を、直感的に言えばこうだ。

微分は「分解」である。 関数を細かく見て、局所的な傾きを取り出す — 常に可能。

積分は「合成」である。 バラバラの情報を積み上げて、全体を復元する — うまく組み上がるとは限らない。

同じ非対称性は、他の場面にもある。

掛け算は簡単、素因数分解は難しい( $\to$ RSA暗号)
料理は作れる、味から材料を逆算するのは難しい
微分方程式を"作る"のは易しいが、"解く"のは難しい

「順方向は易しく、逆方向は難しい」 — この非対称性が、暗号を支え、科学の難問を生んでいる。

そして、だからこそ積分の技術(置換積分、部分積分)が、数IIIで丁寧に教えられる。 「解ける形に持ち込む」ための工夫が、必要だからだ。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$ が簡単に解けるのは、多項式という"素直な"関数だからである。 その幸運を、しばらくは味わっておこう。

答

$x^{3} - x^{2} + x + C$

別解

積分は「微分して確かめられる」 — これほど確実な検算方法は、他にない。そして「なぜ $C$ が必要なのか」を、はっきりさせよう。

検算: 微分して戻す。

$F (x) = x^{3} - x^{2} + x + C$

微分する。

$F^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 + 0 = 3 x^{2} - 2 x + 1 ✓$

元の被積分関数に戻った — 積分は正しい。

この検算は、 $10$ 秒でできて、 $100%$ 確実だ。

積分の答えを書いたら、必ず微分して戻す。 係数を間違えていれば、必ずここで気づく。

たとえば、 $\int 3 x^{2} d x = x^{2}$ と間違えたとしよう。 微分すると $2 x$ — 元の $3 x^{2}$ に戻らない。 一瞬でミスが分かる。

さて、積分定数 $C$ の意味。

「微分して $3 x^{2} - 2 x + 1$ になる関数」は、 $1$ つではない。

$x^{3} - x^{2} + x, x^{3} - x^{2} + x + 5, x^{3} - x^{2} + x - 100$

どれを微分しても、同じ $3 x^{2} - 2 x + 1$ になる(定数の微分は $0$ だから)。

つまり、答えは無数にある。 そのすべてをまとめて表すのが

$x^{3} - x^{2} + x + C (C は任意の定数)$

$C$ は「どれか $1$ つに決められない」という事実の表明である。

グラフで見ると、意味がはっきりする。

$C$ を変えると、グラフは縦に平行移動する。

$C = 0 : y = x^{3} - x^{2} + x$ $C = 5 : y = x^{3} - x^{2} + x + 5 (5 だけ上へ)$

平行移動しても、各点での"傾き"は変わらない — だから微分すると同じになる。

$積分は、 " 傾きの情報 " から " 高さ " を復元する。しかし " 基準の高さ " は決まらない$

山の斜面の傾きだけを知っていても、山の"標高"は分からない。 海抜 $0$ m から測るのか、地面から測るのか — 基準を決めなければ、高さは決まらない。

その"基準の任意性"が $C$ である。

そして、基準を決めるのが「初期条件」だ。

「 $F (1) = 3$ 」のような条件が $1$ つあれば、 $C$ が決まる(次の問題でやる)。

物理では、この $C$ が「初期位置」や「初期速度」に対応する。

「加速度が分かっても、初速と初期位置を知らなければ、物体がどこにいるかは分からない」 — 当たり前だが、深い事実だ。

積分定数は、単なる形式ではない。それは「情報が足りない」という誠実な告白なのである。

ポイント

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ 。
不定積分には積分定数 $C$ を必ず付ける。

よくある間違い

積分定数 $C$ を書き忘れる
$\int 3 x^{2} d x = x^{2}$ のように、指数を1増やすのを忘れる(正しくは $x^{3}$ )
$\int 1 d x = 1$ としてしまう(正しくは $x$ 。定数を積分すると1次式になる)