図形と計量 — 三角比・正弦定理・余弦定理

$\angle C=90^{\circ }$ の直角三角形 $ABC$ において、$AB=5$、$BC=3$、$CA=4$ である。$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$ の値をそれぞれ求めよ。

次の式の値を求めよ。

(1) $\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 60^{\circ }$

(2) $\tan 30^{\circ }\tan 60^{\circ }$

(3) $(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }{)}^2$

$\theta$ は鋭角とする。$\sin \theta =\frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

$\theta$ は鋭角とする。$\tan \theta =2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

次の値を求めよ。

(1) $\sin 120^{\circ }$

(2) $\cos 135^{\circ }$

(3) $\tan 150^{\circ }$

次の三角比を、鋭角の三角比で表せ。

(1) $\sin 160^{\circ }$

(2) $\cos 110^{\circ }$

(3) $\tan 95^{\circ }$

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ とする。次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。

(1) $\sin \theta =\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$

(3) $\tan \theta =-1$

$△ABC$ において、$\angle A=60^{\circ }$、$\angle B=45^{\circ }$、$BC=6$ である。

(1) 辺 $CA$ の長さを求めよ。

(2) $△ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。

$△ABC$ において、$AB=8$、$AC=5$、$\angle A=60^{\circ }$ であるとき、辺 $BC$ の長さを求めよ。

$△ABC$ において、$BC=7$、$CA=5$、$AB=3$ であるとき、$\angle A$ の大きさを求めよ。

$△ABC$ において、$AB=6$、$AC=4$、$\angle A=30^{\circ }$ であるとき、$△ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

3辺の長さが $3,4,5$ の三角形について、次の問いに答えよ。

(1) この三角形の面積 $S$ を求めよ。

(2) この三角形の内接円の半径 $r$ を求めよ。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ とする。$\cos \theta =-\frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ で、$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ であるとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) ${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ とする。次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。

$$2{\sin }^2\theta -\cos \theta -1=0$$

次の式の値を求めよ。

(1) ${\sin }^{2}10^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }$

(2) $\tan 20^{\circ }\tan 70^{\circ }$

(3) ${\cos }^{2}25^{\circ }+{\cos }^{2}65^{\circ }$

$△ABC$ において、$\angle B=45^{\circ }$、$\angle C=75^{\circ }$、$BC=\sqrt{6}$ である。

(1) 辺 $CA$ の長さを求めよ。

(2) $△ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。

$△ABC$ において、$\angle B=45^{\circ }$、$AC=\sqrt{2}$、$AB=\sqrt{3}$ であるとき、$\angle C$ を求めよ。

$△ABC$ において、$AB=5$、$BC=6$、$CA=7$ である。

(1) $\cos B$ の値を求めよ。

(2) $△ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

(3) $△ABC$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=3$、$BC=1$、$CD=2$、$DA=2$ である。

(1) $\angle BAD=A$ とおくとき、$\cos A$ の値と対角線 $BD$ の長さを求めよ。

(2) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、$AB=2$、$AD=2$、$AE=1$ である(底面 $ABCD$ は1辺 $2$ の正方形、$E,F,G,H$ はそれぞれ $A,B,C,D$ の真上にある)。3点 $A,F,C$ を結んでできる $△AFC$ について、次の問いに答えよ。

(1) 3辺 $AF$、$FC$、$CA$ の長さを求めよ。

(2) $△AFC$ の面積 $S$ を求めよ。

水平な地面に塔がまっすぐに立っている。地点 $A$ から塔の先端を見上げた仰角は $30^{\circ }$ であった。$A$ から塔の真下に向かって水平に $20\mathrm{m}$ 進んだ地点 $B$ で測ると、仰角は $45^{\circ }$ になった。塔の高さを求めよ。ただし、目の高さは考えないものとする。

$△ABC$ において

$$\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$$

が成り立つとき、$\angle B$ の大きさを求めよ。

$△ABC$ において、$AB=6$、$AC=4$、$\angle A=120^{\circ }$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。

$△ABC$ において、$\angle A=60^{\circ }$、$BC=\sqrt{7}$、$AB+AC=5$ である。

(1) $AB\cdot AC$ の値を求めよ。

(2) $AB$、$AC$ の長さを求めよ。ただし $AB<AC$ とする。

(3) $△ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ で

$$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$$

であるとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin \theta -\cos \theta$

(3) $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とする。

(1) $\cos \angle AMD$ の値を求めよ。

(2) 頂点 $A$ から底面 $BCD$ に下ろした垂線の長さ $h$ を求めよ。

(3) 正四面体 $ABCD$ の体積 $V$ を求めよ。

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=1$、$BC=2$、$CD=3$、$DA=4$ である。

(1) $\angle BAD=A$ とおくとき、$\cos A$ の値を求めよ。

(2) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

水平な地面の上に塔がまっすぐに立っている。地面上の2地点 $A,B$ は $100\mathrm{m}$ 離れており、塔の真下の地点 $C$ に対して

$$\angle CAB=75^{\circ },\angle CBA=60^{\circ }$$

である。また、地点 $A$ から塔の先端を見上げた仰角は $30^{\circ }$ であった。塔の高さを求めよ。ただし、目の高さは考えないものとする。

$△ABC$ において、$AB=4$、$AC=2$、$\angle A=120^{\circ }$ である。

(1) 辺 $BC$ の長さを求めよ。

(2) $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。

(3) 辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$AM$ の長さを求めよ。

$△ABC$ において、$AB=13$、$BC=14$、$CA=15$ である。

(1) $\cos B$ と $\sin B$ の値を求めよ。

(2) $△ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

(3) 外接円の半径 $R$ と内接円の半径 $r$ を求めよ。

$△ABC$ において、等式

$$a\cos A=b\cos B$$

が成り立つとき、この三角形はどのような形の三角形か。ただし、$a=BC$、$b=CA$、$c=AB$ とする。

$3$ 辺の長さが $x,x+1,x+2$ である三角形が鈍角三角形となるような、$x$ の値の範囲を求めよ。

正三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の、点 $\mathrm{A}$ を含まないほうの弧 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{P}$ をとる。このとき $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が成り立つことを示せ。

$3$ 辺の長さが $\mathrm{BC}=5,\mathrm{CA}=6,\mathrm{AB}=7$ である三角形 $\mathrm{ABC}$ について、内接円の半径 $r$ と、辺 $\mathrm{BC}$ に接し他の $2$ 辺の延長にも接する傍接円の半径 $r_{\mathrm{A}}$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$、$3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a,\mathrm{CA}=b,\mathrm{AB}=c$ とする。

$${\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

が成り立つことを示せ。

$1$ 辺の長さが $a$ の正四面体について、外接球の半径 $R$ と内接球の半径 $r$ を求めよ。

$0°\le \theta \le 180°$ のとき、$2{\cos }^2\theta +\sin \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

水平な地面に垂直に立つ塔 $\mathrm{PQ}$($\mathrm{Q}$ が地面、$\mathrm{P}$ が頂上)がある。地面上の $2$ 地点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ から塔の頂上 $\mathrm{P}$ を見上げた仰角は、$\mathrm{A}$ で $45°$、$\mathrm{B}$ で $30°$ であった。$\mathrm{AB}=100$(m)で、$\angle \mathrm{AQB}=90°$ のとき、塔の高さ $\mathrm{PQ}$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ において $\mathrm{BC}=6$、$\angle \mathrm{A}=60°$ である。この三角形の面積の最大値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で $b=\mathrm{CA}=2,c=\mathrm{AB}=3,A=60^{\circ }$ とする。辺 $a=\mathrm{BC}$ の長さと、外接円の半径 $R$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で $A=60^{\circ }$、$b+c=6$ とする。三角形の面積の最大値を求めよ。

$1$ 辺の長さ $a$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ について、向かい合う $2$ 辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ の中点を結ぶ線分の長さを求めよ。

三角形の $3$ つの内角 $A,B,C$ について、$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ が成り立つことを示せ(ただし直角のない三角形とする)。

三角形の面積を $S$、$3$ 辺を $a,b,c$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。(1) 内接円の半径 $r$ が $S=rs$ を満たすことを示せ。

(2) $3$ 辺が $3,4,5$ の三角形の内接円の半径を求めよ。

外接円の半径が $R$ の三角形について、周の長さ $a+b+c$ の最大値を $R$ で表せ。

三角形の $3$ 辺を $a,b,c$ とする。$3$ 本の中線の長さをそれぞれ $m_a,m_b,m_c$ とするとき、$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ が成り立つことを示せ。

$1$ 辺の長さ $1$ の立方体について、$1$ つの対角線(向かい合う頂点を結ぶ線分)と底面がなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

円に内接する四角形 ABCD において $\mathrm{AB}=1,\mathrm{BC}=2,\mathrm{CD}=3,\mathrm{DA}=4$ である。対角線 AC の長さと、四角形 ABCD の面積を求めよ。

四面体 ABCD において、$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\sqrt{5}$、$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=\sqrt{10}$、$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\sqrt{13}$ が成り立つ。この四面体の体積を求めよ。

$△ABC$ において $\mathrm{AB}=5,\mathrm{AC}=3,\angle A=120^{\circ }$ である。$\angle A$ の二等分線が辺 BC と交わる点を D とするとき、線分 AD の長さを求めよ。

底面が1辺 $6$ の正方形 ABCD、他の $4$ 辺(側辺)がすべて $5$ の正四角錐 P-ABCD がある。この四角錐の体積と、側面と底面のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

$\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。

3辺の長さが $13,14,15$ の三角形の面積 $S$、内接円の半径 $r$、外接円の半径 $R$ を求めよ。

底面の半径が $1$、母線の長さが $4$ の直円錐がある。母線 OA 上の点 A(底面の周上)から出発し、円錐の側面を1周して A に戻る糸を最も短く張ったとき、その長さを求めよ。

$△ABC$ において $a\cos A=b\cos B$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か答えよ。