telvia演習ラボ

数学I

図形と計量 三角比・正弦定理・余弦定理

三角比の定義と拡張、正弦定理・余弦定理、三角形の面積、図形の計量への応用を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 三角比の定義(直角三角形)
  2. 30°・45°・60° の三角比の計算
  3. 三角比の相互関係(sin から cos・tan)
  4. 三角比の相互関係(tan から sin・cos)
  5. 鈍角の三角比(拡張された定義)
  6. 180°−θ・90°−θ の公式で鋭角の三角比に直す
  7. 三角比を含む方程式
  8. 正弦定理(辺と外接円の半径)
  9. 余弦定理(2辺と間の角から残りの辺)
  10. 余弦定理(3辺から角を求める)
  11. 三角形の面積公式
  12. 内接円の半径

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 鈍角の三角比と相互関係
  2. sinθ+cosθ から対称式の値を求める
  3. 三角比の2次方程式
  4. 90°−θ の公式を使う式の値
  5. 正弦定理による三角形の解法
  6. 三角形の解が2通りある場合
  7. 3辺から面積と内接円の半径を求める
  8. 円に内接する四角形
  9. 直方体の中の三角形の面積
  10. 測量への応用(仰角と距離)
  11. sin の比から角を求める
  12. 角の二等分線の長さ

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 余弦定理と対称式(b+c から2辺を決定)
  2. sinθ+cosθ の値から各三角比を決定
  3. 正四面体の計量(角・高さ・体積)
  4. 円に内接する四角形の角と面積
  5. 測量への応用(2地点からの測角と仰角)
  6. 角の二等分線と中線の長さ
  7. 13-14-15 の三角形(面積・外接円・内接円)
  8. 三角形の形状決定

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 鈍角三角形になる辺の範囲
  2. トレミーの定理と正三角形(PA=PB+PC)
  3. 内接円と傍接円の半径
  4. 重心からの距離の2乗の和
  5. 正四面体の外接球と内接球
  6. 三角比の式の最大・最小
  7. 空間での測量(塔の高さ)
  8. 1辺と対角が定まった三角形の面積の最大

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 余弦定理と正弦定理(辺と外接円半径)
  2. 2辺の和が一定のもとで面積を最大にする
  3. 正四面体の対辺の中点を結ぶ線分の長さ
  4. 三角形の正接の和と積(加法定理)
  5. 面積と内接円の半径(S=rs)
  6. 外接円の半径が一定のもとで周を最大にする
  7. 3本の中線の長さの2乗の和
  8. 立方体の対角線と底面のなす角

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 円に内接する四角形
  2. 対辺が等しい四面体の体積
  3. 角の二等分線の長さ
  4. 正四角錐の体積と二面角
  5. cos36°の値
  6. 13-14-15の三角形
  7. 円錐面上の最短経路
  8. 三角形の形状の決定

図形と計量の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問