三角形の解が2通りある場合

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 角 $B$ とその対辺 $AC$、さらに辺 $AB$ が与えられている。正弦定理で $\sin C$ が求まる形だ。

ここに落とし穴がある。$\sin C$ の値が1つに決まっても、$C$ 自体は1つに決まらない。

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ の間では、鋭角と鈍角の2つの角が同じ $\sin$ の値をもつ($\sin$ は $90^{\circ }$ をはさんで対称)。両方の候補を挙げ、内角の和が $180^{\circ }$ を超えないか吟味して仕分ける。

まず正弦定理で $\sin C$ を求める。 角 $B$ の対辺は $AC$、角 $C$ の対辺は $AB$ なので、正弦定理より

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$$

これを $\sin C$ について解くと

$$\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

次に条件を満たす $C$ をすべてあげて確かめる。 ここで $C=60^{\circ }$ と即答してはいけない。$0^{\circ }<C<180^{\circ }$ で $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ になる角は

$$C=60^{\circ }\text{または}C=120^{\circ }$$

の2つある。図のように、高さが同じ点は半円上に左右対称に2つあるからだ。それぞれが本当に三角形になるか、残りの角 $A$ が正になるかで確かめる。

• $C=60^{\circ }$ のとき: $A=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }>0^{\circ }$ で成立
• $C=120^{\circ }$ のとき: $A=180^{\circ }-45^{\circ }-120^{\circ }=15^{\circ }>0^{\circ }$ で成立

どちらも生き残るので

$$\angle C=60^{\circ }\text{ または }120^{\circ }$$

まとめ:『2辺とその一方の対角』という与え方では、三角形が1通りに決まらないことがある。$\sin$ から角を戻すときは、いつも『もう1つの候補』を疑う。確かめの結果、片方が捨てられることも、今回のように両方残ることもある。

発展 — 一歩先へ。 三角形の合同条件(3辺・2辺夾角・2角1辺)に「2辺と間でない角」が入っていないのは、まさに今回のように三角形が2つできてしまうからだ。合同条件の裏側を、計量の言葉で体験したことになる。

コンパスで作図してみると分かりやすい。$A$ を中心に半径 $\sqrt{2}$ の円を描くと、$B$ から $45^{\circ }$ で伸ばした直線と2点で交わる。その2交点が、2つの三角形の頂点 $C$ である。

別解

「答えが2つある」ことの正体は、余弦定理ルートで見るとよく分かる。

残りの辺 $BC=a$ を未知数にして、余弦定理を立てる。$A{C}^2=a^2+A{B}^2-2\cdot a\cdot AB\cos B$、つまり

$$2=a^2+3-2a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

整理すると $a^2-\sqrt{6}a+1=0$。この2次方程式の解は $a=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2}$ で、どちらも正。

つまり、条件を満たす三角形が本当に2つ実在する。長いほうの $a$ が $C=60^{\circ }$ の三角形、短いほうが $C=120^{\circ }$ の三角形に対応する。

「2辺と、間ではない角」という与え方は三角形を1つに決めない。$\sin$ の2択はその現れであって、計算の都合ではない。方程式の2解として見ると、その事実が目に見える。