空間での測量(塔の高さ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 塔の高さを $h$ とおく。仰角から、地面上の $2$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ と塔の足 $\mathrm{Q}$ の距離を $h$ で表す。

$\mathrm{A}$ の仰角 $45°$ から $\tan 45°=\frac{h}{\mathrm{AQ}}=1$、すなわち $\mathrm{AQ}=h$。$\mathrm{B}$ の仰角 $30°$ から $\mathrm{BQ}=\frac{h}{\tan 30°}=h\sqrt{3}$。

地面の三角形 $\mathrm{AQB}$ で $\angle \mathrm{AQB}=90°$。三平方の定理 ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AQ}}^2+{\mathrm{BQ}}^2=h^2+3h^2=4h^2$。$\mathrm{AB}=2h$ から $h$ が決まる。

① 水平距離を $h$ で表す。 $\mathrm{PQ}=h$ とおく。$\angle \mathrm{PQA}=90°$ で仰角 $\angle \mathrm{PAQ}=45°$ だから

$$\mathrm{AQ}=\frac{h}{\tan 45°}=h$$

仰角 $\angle \mathrm{PBQ}=30°$ だから

$$\mathrm{BQ}=\frac{h}{\tan 30°}=h\sqrt{3}$$

② 地面の直角三角形で三平方。 $\angle \mathrm{AQB}=90°$ だから

$${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AQ}}^2+{\mathrm{BQ}}^2=h^2+3h^2=4h^2$$

③ 高さを求める。 $\mathrm{AB}=100$ より $100^2=4h^2$、$h^2=2500$、$h=50$。よって塔の高さは $50$(m)。

まとめ:空間の測量は「高さを $h$ とおき、仰角で水平距離を $h$ の式に、地面の三角形で関係式を $1$ 本」。塔が垂直だから足 $\mathrm{Q}$ での角がすべて直角になり、$\mathrm{AQ},\mathrm{BQ}$ が素直に $h$ で書けるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 空間の測量は「垂直面の直角三角形(仰角と高さ・距離)」と「水平面の三角形($2$ 地点と塔の足)」を組み合わせる。$2$ 地点からの仰角と $2$ 地点間の距離が分かれば、塔の高さが求まる。GPS や三角測量の原理も、複数地点からの角度で位置を決めるこの発想の延長にある。

別解

別解 — 塔を軸に「$45°$ で真上、$30°$ で緩い」比を先に読む(直感で捉えるルート)。 仰角 $45°$ は「水平距離 $=$ 高さ」の特別な角。だから $\mathrm{A}$ は塔の足 $\mathrm{Q}$ から高さ $h$ と同じだけ離れている($\mathrm{AQ}=h$)。

仰角 $30°$ は「水平距離 $=$ 高さ $\times \sqrt{3}$」。$30°$-$60°$-$90°$ の直角三角形の比 $1:\sqrt{3}:2$ から、$\mathrm{B}$ は塔から $h\sqrt{3}$ 離れている。

地面で $\mathrm{A},\mathrm{Q},\mathrm{B}$ が直角三角形($\angle \mathrm{AQB}=90°$)をなすので、$\mathrm{AB}$ は斜辺。${\mathrm{AB}}^2=h^2+(h\sqrt{3}{)}^2=4h^2$、$\mathrm{AB}=2h$。$\mathrm{AB}=100$ から $h=50\mathrm{m}$。

$\tan$ を計算する(本解)のと同じだが、$45°$($1:1:\sqrt{2}$)と $30°$($1:\sqrt{3}:2$)の“有名な直角三角形の比”を覚えていれば、水平距離が $h,h\sqrt{3}$ と即座に書ける。空間の測量は「垂直面の直角三角形で高さと距離を結び、地面の三角形でつなぐ」のが定石だ。