三角形の正接の和と積(加法定理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の内角の条件 $A+B+C=\pi$ を、2角と残り1角の関係 $A+B=\pi -C$ に直すのが第一手。

両辺の正接をとると $\tan (A+B)=\tan (\pi -C)=-\tan C$。

左辺に加法定理 $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ を入れ、分母を払って整理すれば、示す等式がそのまま現れる。「角の和の条件は、加法定理で式の関係に翻訳する」型だ。

① 角の和を使う。 $A+B+C=\pi$ より $A+B=\pi -C$。両辺の正接をとると $$\tan (A+B)=\tan (\pi -C)=-\tan C.$$ ② 加法定理を代入。 左辺に加法定理を使うと $$\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C.$$ ③ 分母を払って整理。 両辺に $(1-\tan A\tan B)$ を掛けて $$\tan A+\tan B=-\tan C(1-\tan A\tan B)=-\tan C+\tan A\tan B\tan C.$$ $\tan C$ を左辺に移すと $$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.$$

まとめ $A+B=\pi -C$ から $\tan (A+B)=-\tan C$、加法定理で分母を払うと $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$。角の和 $\pi$ と加法定理の融合。

発展 — 一歩先へ。 この恒等式から、鋭角三角形では $\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C\ge 3\sqrt[3]{\tan A\tan B\tan C}$(相加相乗)が使えて、積が $3\sqrt{3}$ 以上(等号は正三角形)という最小値問題が3行で解ける。「和=積」という珍しい構造が、そのまま不等式の踏み台になる好例だ。

別解

$\sin (A+B+C)$ の展開から(対称なまま示す)。 加法定理を2回使うと、3角の和の正弦が展開できる:

$$\sin (A+B+C)=\sin A\cos B\cos C+\cos A\sin B\cos C+\cos A\cos B\sin C-\sin A\sin B\sin C$$

三角形では $A+B+C=\pi$ だから左辺は $\sin \pi =0$。両辺を $\cos A\cos B\cos C$(直角がないので $0$ でない)で割ると

$$\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C=0$$

— 示す等式が、移項なしの対称な形で一気に出る。

$A+B=\pi -C$ の変形(本解)は2角と1角を分けるが、この道は3角を最後まで対等に扱う。「対称な結論は、対称な恒等式から」という美学の実例で、$\cos (A+B+C)$ の展開からは $\tan$ の2次の対称式の恒等式($\sum \tan A\tan B=1$ が $A+B+C=\frac{\pi }{2}$ のとき)も同じ流儀で作れる。