正弦定理による三角形の解法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられたのは2つの角と1辺。正弦定理の出番だが、そのままでは使えない。

正弦定理は「角とその対辺のペア」がそろって初めて動く。分かっている辺 $BC$ の対角 $\angle A$ が、まだ不明だ。

だから最初の一手は、内角の和 $180^{\circ }$ から $\angle A$ を求めること。ペアが1組できれば、あとは正弦定理が残りの辺も外接円の半径も教えてくれる。

まず残りの角を求める。 三角形の内角の和は $180^{\circ }$ なので

$$\angle A=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$$

これで角 $A=60^{\circ }$ と対辺 $BC=\sqrt{6}$ のペアが完成した。正弦定理を使う準備が整った。

(1) 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}$ より

$$CA=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2$$

根号だらけの分数に見えるが、分母どうしの $2$ が約分され、あとは根号の中で掛け算・割り算するだけ。$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}$ ときれいに整数になる。

(2) 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=2R$ より

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$$

まとめ:なお $\angle C=75^{\circ }$ の三角比は知らなくていい。使わずに済むペアを選ぶのも、正弦定理の技術のうちだ。

発展 — 一歩先へ。 定理の使い分けは「何がそろっているか」で決まる。2角と1辺なら正弦定理。2辺と間の角、または3辺なら余弦定理。この仕分けを反射にしておくと、問題を読んだ瞬間に道具が決まる。

正弦定理に外接円の $2R$ が現れる理由は、円周角の定理にある(同じ弧の上の円周角は等しいので、角を円の中心側へ移して直径と結びつけられる)。数学Aの円の性質とつながる話だ。

別解

(1)は、正弦定理を使わずに「垂線1本」でも解ける。$75^{\circ }$ という中途半端な角を避けて、$45^{\circ }$ と $60^{\circ }$ の三角形に割るのだ。

$C$ から直線 $AB$ に垂線を下ろし、足を $K$ とする。

直角三角形 $KBC$ は $\angle B=45^{\circ }$ だから、$CK=BC\sin 45^{\circ }=\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。

直角三角形 $KAC$ は $\angle A=60^{\circ }$ だから、$CA=\frac{CK}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。

特別角($45^{\circ }$、$60^{\circ }$)の直角三角形2枚に分けてしまえば、道具は三平方と辺の比だけで済む。正弦定理の証明も実はこの「垂線で高さを共有させる」発想でできており、別解はその中身を素手でなぞっている。