内接円と傍接円の半径

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内接円も傍接円も、半径は「面積 $S$ を使った関係式」から出る。だからまず面積 $S$ をヘロンの公式で求める。

$s=\frac{5+6+7}{2}=9$ として $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$。

内接円は $S=rs$ から $r=\frac{S}{s}$。傍接円($\mathrm{BC}$ に接し他の $2$ 辺の延長に接する)は $S=r_{\mathrm{A}}(s-a)$ から $r_{\mathrm{A}}=\frac{S}{s-a}$($a=\mathrm{BC}=5$)。同じ $S$ を $2$ 通りに使う。

① 面積を求める。 $a=5,b=6,c=7$、$s=\frac{5+6+7}{2}=9$。ヘロンの公式より

$$S=\sqrt{9\cdot (9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$$

② 内接円半径。 $S=rs$ より

$$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

③ 傍接円半径。 辺 $\mathrm{BC}$($a=5$)側の傍接円は $S=r_{\mathrm{A}}(s-a)$ を満たすから

$$r_{\mathrm{A}}=\frac{S}{s-a}=\frac{6\sqrt{6}}{9-5}=\frac{6\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$$

まとめ:内接円・傍接円の半径は「面積」を要にして求める。内接円は $s$、傍接円は $s-a$ で割るだけの違い。ヘロンで面積さえ出れば、あとは割り算。傍接円のほうが分母が小さいので $r_{\mathrm{A}}>r$ になる。

発展 — 一歩先へ。 $1$ つの三角形には内接円 $1$ つと傍接円 $3$ つ(各辺に $1$ つ)がある。半径には $\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{r_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{r_{\mathrm{C}}}$、$r\cdot r_{\mathrm{A}}{r}_{\mathrm{B}}{r}_{\mathrm{C}}=S^2$ などの美しい関係が成り立つ。傍接円は、内接円と“外側から接する”双子で、面積 $S$ を軸に対称的に振る舞う。

別解

別解 — 内接円と傍接円の「接線の長さ」で捉える(得意な人向けの視点)。 円外の点から引いた $2$ 接線の長さは等しい。この性質で、接点までの長さを $s$(半周)で書ける。

内接円では、頂点 $\mathrm{A}$ からの接線の長さが $s-a$。$\mathrm{A}$ の内角の半分 $\frac{A}{2}$ を使うと $r=(s-a)\tan \frac{A}{2}$。

傍接円($\mathrm{A}$ 側)では、頂点 $\mathrm{A}$ からの接線の長さが $s$ になり、$r_{\mathrm{A}}=s\tan \frac{A}{2}$。

$2$ つを割ると $\frac{r_{\mathrm{A}}}{r}=\frac{s}{s-a}=\frac{9}{9-5}=\frac{9}{4}$。だから $r_{\mathrm{A}}=\frac{9}{4}r$。$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ から $r_{\mathrm{A}}=\frac{9}{4}\cdot \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$。

面積を$2$通りに使う(本解)のと同じ結果。内接円と傍接円の半径の比が $\frac{s-a}{s}$ という接線長の比になるのは、両円が同じ角 $\frac{A}{2}$ を見込むからだ。