数学I / 図形と計量

三角形の形状決定

★★★ 応用正弦定理余弦定理形状決定

問題

$△ A B C$ において、等式

$a cos A = b cos B$

が成り立つとき、この三角形はどのような形の三角形か。ただし、 $a = B C$ 、 $b = C A$ 、 $c = A B$ とする。

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角と辺が混ざった式は扱いにくい — すべて辺の言葉に統一しよう。整理して『(何か)×(何か) $= 0$ 』の形へ。ここで絶対に割ってはいけないものがある — それを割ると、1つの場合を丸ごと落とす。

解答・解説

方針

『 $a cos A = b cos B$ を満たす三角形はどんな形か』。形状決定と呼ばれる型だ。角と辺が混ざった式は扱いにくいので、まずやることはすべてを辺の言葉に統一すること。

余弦定理の変形 $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ を代入すれば、式は辺だけの多項式になる。あとは『 $= 0$ 』の形に整理して因数分解する。現れた各因数が、それぞれ1つの図形的な性質(二等辺・直角)に翻訳される。

因数を1つ見つけて満足しないこと。『または』で結ばれたすべての場合が答えだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「どんな形の三角形か」と問われている。角と辺が混ざった式は、まず言葉を統一する。

余弦定理で $cos$ を辺だけの式に置き換える。すると条件式は、辺だけの代数方程式になる。

あとは因数分解して「 $a = b$ または…」と読む。各因数がどんな三角形かに翻訳し直す。

「幾何 → 代数 → 幾何」の往復が形状決定の定跡だ。

公式余弦定理(角を求める形)

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

まず余弦定理で辺の式に直す。

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}, cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}$

を与式に代入すると

$a \cdot \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = b \cdot \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}$

両辺に $2 ab c (> 0)$ を掛けて分母を払うと

$a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})$

見た目は4次式でこわいが、やることは展開と整理だけだ。

整理して因数分解する。 展開すると

$a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4} = b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} - b^{4}$

両辺の $a^{2} b^{2}$ を消して左辺に集めると

$a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} - a^{4} + b^{4} = 0$

ここからが因数分解の見せどころ。 $c^{2}$ を含む項と含まない項でグループ分けする。

$c^{2} (a^{2} - b^{2}) - (a^{4} - b^{4}) = 0$

$a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})$ なので、共通因数 $a^{2} - b^{2}$ がくくり出せて

$(a^{2} - b^{2}) {c^{2} - (a^{2} + b^{2})} = 0$

途中で $a^{2} - b^{2}$ で割ってはいけない。 $a = b$ の可能性を勝手に消すことになるからだ。割らずに、くくる。

各因数を図形の言葉に翻訳する。

$a^{2} = b^{2} または c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$a$ 、 $b > 0$ なので $a^{2} = b^{2}$ は $a = b$ を意味する。また $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ は、三平方の定理の逆により $∠ C = 9 0^{\circ}$ を意味する。

結論: a = b の二等辺三角形、または ∠C = 90° の直角三角形

結論。 $△ A B C$ は

$a = b の二等辺三角形、または ∠ C = 9 0^{\circ} の直角三角形$

だ(両方を同時に満たす直角二等辺三角形も含まれる)。

振り返り。 形状決定の失点パターンは決まっている。①因数分解の途中で $a^{2} - b^{2}$ で割ってしまい、二等辺の場合を落とす。②因数 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を『直角三角形』とだけ書いて、どの角が直角か( $∠ C$ )を明示しない。この2つだ。『割らずにくくる』『因数はすべて拾い、図形の言葉に正確に翻訳する』。この2つを守れば、どんな形状決定にも同じ手順で立ち向かえる。

発展 — 一歩先へ。 形状決定でいちばん怖いのは、途中で場合を落とすことだ。それを防ぐ見方がある。

条件式 $a cos A = b cos B$ を辺だけの式に直すと $a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})$ 。この式は $a$ と $b$ を入れ替えても、左辺と右辺がちょうど入れ替わるだけで全体は変わらない。移項して差を $0$ とおいた形は、入れ替えで符号が反転する(反対称)から、必ず $a - b$ を因数にもつ。だから「 $a = b$ の二等辺」は初めから約束された解なのだ。

残りの因数 $c^{2} - a^{2} - b^{2}$ が、もう一つの特殊な形(直角)を決める。条件が $a, b$ について対称なら二等辺が、非対称な残りが直角を生む。この「対称性から二等辺因数を先読みする」目は、どの形状決定でも武器になる。

答

$a = b$ の二等辺三角形、または $∠ C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形

別解

別解 — 正弦定理で角の式に翻訳するルート(得意な人向けの視点)。 辺を消して、代わりに角だけの式にしてみる。

正弦定理より $a = 2 R sin A$ 、 $b = 2 R sin B$ ( $R$ は外接円の半径)。これを条件 $a cos A = b cos B$ に入れると、両辺の $2 R$ が消えて

$sin A cos A = sin B cos B ⟹ sin 2 A = sin 2 B .$

( $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ を使った。) $0^{\circ} < A, B < 18 0^{\circ}$ の範囲で $sin 2 A = sin 2 B$ となるのは、 $2 A = 2 B$ か $2 A = 18 0^{\circ} - 2 B$ のとき。

前者は $A = B$ 、すなわち $a = b$ の二等辺三角形。後者は $A + B = 9 0^{\circ}$ 、つまり $C = 18 0^{\circ} - (A + B) = 9 0^{\circ}$ の直角三角形。この解き方は「割る」操作をしないので、場合を落とす心配がない。辺の因数分解で攻める本解と、まったく同じ $2$ 通りの結論に達する。

ポイント

形状決定は「角の式 → 余弦定理・正弦定理で辺だけの式 → 因数分解」の流れ
「 $() () = 0$ 」の各因数がそれぞれ1つの形状に対応する。全部挙げる
$a^{2} = b^{2} \Rightarrow a = b$ (辺は正)、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow ∠ C = 9 0^{\circ}$ (三平方の逆)

よくある間違い

$a^{2} - b^{2}$ で両辺を割ってしまい、 $a = b$ の二等辺三角形の場合をまるごと落とす。
因数 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を「直角三角形」とだけ書き、直角が最長辺 $c$ の対角 $∠ C$ であることを示さない。
$(a^{2} - b^{2})$ か $(c^{2} - a^{2} - b^{2})$ の片方だけを解にして、「または」で結ぶもう一方を書き忘れる。