余弦定理と正弦定理(辺と外接円半径)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられたのは「2辺とその間の角」— 向かいの辺を出す道具は余弦定理一択だ。

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ に代入すれば $a=\sqrt{7}$。

外接円の半径 $R$ は、辺とその対角のペアから正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ で出す。いま $a$ と $A$ のペアが揃ったところだから、流れがそのままつながる。「間の角→余弦定理、対角→正弦定理」の使い分けが第一感になる。

① 余弦定理で $a$。 $$a^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos 60^{\circ }=4+9-12\cdot \frac{1}{2}=7⟹a=\sqrt{7}.$$

② 正弦定理で $R$。 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を使って $$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}⟹R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}.$$

まとめ $2$ 辺と間の角 → 余弦定理で $a=\sqrt{7}$ → 正弦定理で $R=\frac{\sqrt{21}}{3}$。余弦定理と正弦定理(外接円)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $R=\frac{abc}{4S}$ と $S=rs$ を組むと $\frac{R}{r}=\frac{abc}{4rs\cdot r}$ … と、三角形の5つの量($a,b,c$ から $S,R,r,s$)は互いに行き来できる公式の網をなす。オイラーの不等式 $R\ge 2r$(等号は正三角形)はこの網の上の名品で、本問の三角形でも $R=\frac{\sqrt{21}}{3}\approx 1.53$、$r=\frac{S}{s}\approx 0.69$ で確かに $R>2r$ が成り立っている。

別解

面積を経由して $R=\frac{abc}{4S}$ で(公式の連携)。 外接円の半径には、面積と3辺で書ける公式もある:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

($S=\frac{1}{2}bc\sin A$ と正弦定理 $a=2R\sin A$ から $\sin A$ を消すと出る。)本問なら $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\sin 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ で

$$R=\frac{\sqrt{7}\cdot 2\cdot 3}{4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\sqrt{7}}{6\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$$

正弦定理(本解)と同じ値に着く。

三角形の量($S,R,r,s$、3辺)は $S=\frac{abc}{4R}=rs=\frac{1}{2}bc\sin A=$ ヘロン…と公式の網でつながっていて、どの2つを知っていれば何が出るか、の地図を持つと検算が自在になる。