三角比の式の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2{\cos }^2\theta +\sin \theta$ には $\cos$ と $\sin$ が混在。${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ で $\sin \theta$ だけの式にそろえる。

$2(1-{\sin }^2\theta )+\sin \theta =-2{\sin }^2\theta +\sin \theta +2$。$t=\sin \theta$ とおくと $t$ の $2$ 次関数だ。

範囲に注意。$0°\le \theta \le 180°$ では $\sin \theta$ は $0$ から $1$ まで($t\in [0,1]$)。$-2t^2+t+2$(上に凸)を $[0,1]$ で調べ、頂点と端で最大最小を出す。

① $1$ 種類にそろえる。 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ より

$$2{\cos }^2\theta +\sin \theta =2(1-{\sin }^2\theta )+\sin \theta =-2{\sin }^2\theta +\sin \theta +2$$

② 置きかえと範囲。 $t=\sin \theta$ とおくと、$0°\le \theta \le 180°$ では $0\le t\le 1$。求めるのは $g(t)=-2t^2+t+2$ の $0\le t\le 1$ での最大最小。

$$g(t)=-2{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{17}{8}$$

③ 範囲つきで調べる。 上に凸、軸 $t=\frac{1}{4}$ は範囲内。

• 最大:頂点 $t=\frac{1}{4}$ で $g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{17}{8}$。このとき $\sin \theta =\frac{1}{4}$。
• 最小:上に凸だから軸から遠い端。$t=0$ までの距離 $\frac{1}{4}$、$t=1$ までの距離 $\frac{3}{4}$ で $t=1$ が遠い。$g(1)=-2+1+2=1$。このとき $\sin \theta =1$、$\theta =90°$。

まとめ:三角比の式は「${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で $1$ 種類にそろえ、置きかえて $2$ 次関数」。角の範囲から $t=\sin \theta$ の範囲($0\le t\le 1$)を出すのが要。範囲を無視して頂点だけ見ると、最小($t=1$ の端)を取りこぼす。

発展 — 一歩先へ。 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ で $1$ 変数化する手は、三角比の最大最小の万能薬。ただし $t=\sin \theta$ の範囲は角の範囲で変わる($[0°,180°]$ で $[0,1]$、$[0°,360°]$ で $[-1,1]$)。「三角比を $t$ に置換したら、$t$ の範囲を角から翻訳する」が鉄則で、範囲の取り違えが最も多いミスだ。

別解

別解 — 単位円周上の点として図で最大最小を読む(視覚で捉えるルート)。 $t=\sin \theta$ とおくと $-2t^2+t+2$。放物線(上に凸)$y=-2t^2+t+2$ を、$t$ の範囲 $[0,1]$ で描く。

頂点は $t=\frac{-1}{2\cdot (-2)}=\frac{1}{4}$。この $t=\frac{1}{4}$ は $[0,1]$ の中に入っているから、頂点で最大。$y=-2\cdot \frac{1}{16}+\frac{1}{4}+2=\frac{17}{8}$。$\sin \theta =\frac{1}{4}$ となる $\theta$ は $0°\le \theta \le 180°$ に存在する。

最小は区間の端。$t=0$($\theta =0°,180°$)で $y=2$、$t=1$($\theta =90°$)で $y=1$。小さい方の $t=1$ で最小 $1$。

「$\sin \theta$ が $[0,1]$ を動く」のは、$0°\le \theta \le 180°$ で $\sin$ が非負だから。もし範囲が $[0°,360°]$ なら $t\in [-1,1]$ になり、端が変わる。範囲を $t$ の範囲に正しく翻訳するのが、三角比の最大最小の急所だ。